Ensait - E2 - Transformations fonctionnelles

Date: Évaluation du 07/05/2004 - durée 2h00

le sujet comporte deux pages

Descriptif du travail demandé

1. Chaque étudiant travaillera de façon isolée (avec le libre accès à ses propres documents et aux cours en ligne).
2. Le compte-rendu se composera de :
   1. Un compte-rendu expérimental, sous forme d'un listing imprimé et paginé, contenant les procédures, les graphes et les calculs.
   2. Un compte-rendu mathématique, manuscrit ou imprimé, mettant en valeur les résultats obtenus et les méthodes utilisées.
   3. Le document complet sera agrafé et paginé. Les "choses" illisibles ne seront pas lues.
3. Une bonne gestion du temps fait partie des compétences évaluées. Prévoir le temps nécessaire pour les impressions. Faire un essai d'impression dès la première heure. Ne pas oublier les sauvegardes en cours de travail.
4. Il va de soi que tous les problèmes de compte informatique (mots de passe, comptes périmés ou autres problèmes) devront avoir été résolus largement avant l'évaluation.

1 Transformée de Laplace directe

1. On considère la fonction définie par pour , pour , pour et pour . Faire un croquis. Exprimer à l'aide de la fonction de Heaviside. Calculer la transformée de Laplace de la fonction .
2. Soit définie par . Croquis. Image Laplace.
3. Détailler les calculs de l'image Laplace de l'équation différentielle :
   

2 Convolutions

1. Mettre la valeur de trouvée en (1.3) sous la forme .
2. Déterminer les fonctions et correspondantes.
3. En déduire la valeur de la fonction (utilisant une convolution).
4. Résoudre complètement l'équation différentielle dans le cas où .
5. Vérifier le résultat obtenu.

.../...

3 Transformation de Laplace inverse

1. A partir de maintenant, la fonction est la fonction périodique, de période , qui coïncide avec sur l'intervalle . Croquis. Image Laplace.
2. On définit la fonction auxiliaire par . Utiliser les résultats précédents pour exprimer sous forme d'une combinaison d'exponentielles, les coefficients étant des fractions rationnelles.
3. Déterminer telle que .
4. Terminer les calculs et obtenir la valeur de la fonction .
5. Indiquer comment obtenir la fonction à partir de . Tracer le graphe de pour .
6. Montrer que admet un régime limite périodique, c'est à dire qu'il existe une fonction périodique telle que lorsque . Écrire les équations permettant de déterminer .

4 Séries génératrices

1. Déterminer la série génératrice par plusieurs méthodes. Utiliser une convolution pour en déduire la valeur de .
2. Résoudre la récurrence à l'aide de séries génératrices. Obtenir une expression explicite pour .