Ensait - A2 - Transformation de Laplace

Date: Corrigé du DS du 23/06/2004 - durée 2h00

Durée : 2 heures. Tous documents autorisés.
L'usage d'un ordinateur (et des programmes indiqués en cours) est recommandé.
Le listing des calculs fait sur ordinateur sera joint (deux pages par feuille, folioté).
Le commentaire écrit fera des références précises à cette feuille de calcul.

Dans ce corrigé, les commandes Maple sont en caractères typewriter et les "réponses Maple" au format équation. Comme il se doit, un commentaire en langage ordinaire accompagne le tout. Quelques alias simplifient l'écriture.

alias(H=Heaviside, lap=inttrans[laplace], ilap=inttrans[invlaplace]) ; 

1 Transformée de Laplace directe

1. On considère la fonction définie par pour , pour et pour . Faire un croquis. Exprimer à l'aide de la fonction de Heaviside. Calculer la transformée de Laplace de la fonction . On utilise piecewise, puis on traduit.

   T:=3 ; piecewise(t<0,0,t<2,1-t,0) :  psi:= unapply(collect(convert(%,H), H), t) ;

   

   On calcule l'image Laplace.

   vlap:= proc(psi) ; Lap(psi)(p)=lap(psi(t),t,p) ; end :   lap_psi:= vlap(psi);

   
   On trace le dessin (cf. fig:La-fonction-psi).

   pl1:= plot(psi(t),t=-1..2*T):  displayg(pl1, tickmarks=[[0,T,2*T],[-1,1]], linestyle=24) ;

   Figure 1: La fonction et son image Laplace.

   [Objet][Image]

2. Soit définie par . Croquis. Image Laplace. La fonction s'obtient en répétant trois fois le motif de .

   h:= unapply(psi(t)+psi(t-T)+psi(t-2*T),t) : 

   L'image Laplace de s'obtient par le théorème des retards (on peut aussi utiliser un calcul direct).

   lap_h:= Lap(g3)(p)=rhs(lap_psi)*(1+exp(-T*p)+exp(-2*T*p)) ;

   
   Les mêmes commandes que ci-dessus conduisent aux dessins demandés. Sur la fig:La-fonction-g3, on constate que les images-Laplace de et de ne diffèrent réellement que pour les petites valeurs de (la courbe de est au-dessus de l'autre).

   Figure 2: La fonction et son image Laplace.

   [Objet.][Images de et de .]

3. Détailler les calculs de l'image Laplace de l'équation différentielle :
   
   Le plus simple est d'utiliser un calcul direct. Il suffit de réintroduire la notation inerte .

   eqd:= diff(f(t),t,t)+4*diff(f(t),t)+3*f(t)= g(t) ; ini:= f(0)=-2, D(f)(0)=1 ;

   

   

   rena:= laplace(f(t),t,p)=Lap(f)(p), laplace(g(t),t,p)=Lap(g)(p) ; 

   

   lap_eqd0:= subs(rena, lap(eqd,t,p)) ; 
   

   
   

2 Convolutions

1. Mettre la valeur de trouvée en (1.3) sous la forme
   

   subs(ini, lap_eqd0) : (op@solve)(%, {Lap(f)(p)}) :  lap_eqd:= collect(%, Lap, factor) ; 

   

2. Déterminer les fonctions et correspondantes.

   rhs(lap_eqd) : LA,LB:=coeff(%,Lap(g)(p),0), coeff(%,Lap(g)(p),1) ;  A, B:= ilap(LA,p,t), ilap(LB,p,t) : A:= unapply(A, t) ; B:= unapply(B, t);

   
   
   

3. En déduire la valeur de la fonction (utiliser une convolution). La fonction décrit la réponse propre du système à un changement de conditions initiales, tandis que conditionne la réponse du système à une action extérieure. D'après le cours, . Autrement dit :

   sol:= 'A'(t)+Int(g(u)*'B'(t-u), u=0..t) ;

   

4. Résoudre complètement l'équation différentielle dans le cas où .

   gg:= unapply( exp(-2*t), t);

   

   (eval@subs)(g=gg, sol) : (xcombipo@expand)(%) : (normal@simplify@value)(%) : ff:= unapply(%, t); 

   

5. Vérifier le résultat obtenu.

   subs(f=ff, g=gg, [eqd, ini]) : % ; 

   

3 Transformation de Laplace inverse

1. A partir de maintenant, la fonction est la fonction périodique, de période , qui coïncide avec sur l'intervalle . Croquis. Image Laplace. La fonction s'obtient en répétant indéfiniment le motif de . En utilisant le cours, son image Laplace s'obtient par :

   den:=(1-exp(-T*p)) ; lap_g:= Lap(g)(p)=rhs(lap_psi)/den ;

   
   Sur la fig:La-fonction-g, on constate que les images-Laplace de et de diffèrent surtout pour les petites valeurs de (ainsi alors que ).

   Figure 3: La fonction et son image Laplace.

   [Objet.][Images de et de .]

2. On définit la fonction auxiliaire par . Utiliser les résultats précédents pour exprimer sous forme d'une combinaison d'exponentielles, les coefficients étant des fractions rationnelles.

   subs(lap_g, lap_psi, lap_eqd) ; normal(rhs(%)*den) :  def_phi:= Lap(phi)(p)= collect( %, [exp(-4*p), exp], factor) ; 

   

   convert(rhs(def_phi), list) ; li:= map2(selectremove,has,%,exp);

   

3. Déterminer telle que . Attention aux signes, et au facteur de Heaviside !

   phi1:= ilap(li[2],p,t)*H(t) ;

   

4. Terminer les calculs et obtenir la valeur de la fonction .

   phi20:= ilap(li[4],p,t)*H(t) ; phi2:= subs(t=t+op(1, li[3])/p,%) ; 

   
   

   phi30:= ilap(li[6],p,t)*H(t) ; phi3:= subs(t=t+op(1, li[5])/p,%) ; 

   
   

   Phi:= unapply( phi1(t)+phi2(t)+phi3(t), t) :

   Le graphe de présente un saut en , et les valeurs pour ne sont pas nulles.

   vy:= limit(Phi(t),t=0, right),  evalf(limit(Phi(t),t=T, left),2),  evalf(limit(Phi(t),t=T, right),3) ;

   

   plot(Phi(t), t=-2..12, linestyle=20) :  displayg(%, tickmarks=[[0,T,4*T],[vy]]) ;

   Figure 4: Graphe de .

   

    

5. Indiquer comment obtenir la fonction à partir de . Tracer le graphe de pour . On obtient par répétition de , soit . Pour une valeur donnée de , cette somme ne comporte qu'un nombre fini de termes non nuls. En particulier, on peut vérifier les conditions initiales sur la 4.

   Figure 5: Graphe de .

   

   plot(add(Phi(t-T*k),k=0..8),t=-4..20, linestyle=24, color=black);

6. Montrer que admet un régime limite périodique, c'est à dire qu'il existe une fonction périodique telle que lorsque . Écrire les équations permettant de déterminer . L'existence d'un régime limite périodique est assurée par le fait que le système est dissipatif (le coefficient de est positif) : les conditions initiales finissent par être oubliées, et remplacées par
   
   Un peu de calcul conduit à :