Ensait - E2 - Transformation de Laplace

Date: Corrigé du DS du 13/12/2004 - durée 2h00

Descriptif du travail demandé

1. Chaque étudiant travaillera de façon isolée (avec le libre accès à ses propres documents et aux cours en ligne).
2. Le compte-rendu se composera de :
   1. Un compte-rendu expérimental, sous forme d'un listing imprimé et paginé, contenant les procédures, les graphes et les calculs.
   2. Un compte-rendu mathématique, manuscrit ou imprimé, mettant en valeur les résultats obtenus et les méthodes utilisées.
   3. Le document complet sera agrafé et paginé. Vu les lenteurs des imprimantes mises à disposition, imprimer une page par feuille.
3. Une bonne gestion du temps fait partie des compétences évaluées. Prévoir le temps nécessaire pour les impressions. Faire un essai d'impression dès la première heure. Ne pas oublier les sauvegardes en cours de travail.
4. L'attention des étudiants est attirée sur le fait que le trafic réseau de leur ordinateur est susceptible d'être enregistré pendant la durée de l'évaluation.

1 Transformée de Laplace directe et convolutions

Dans ce corrigé, les commandes Maple sont en caractères typewriter et les "réponses Maple" au format équation. Comme il se doit, un commentaire en langage ordinaire accompagne le tout. Quelques alias simplifient l'écriture.

macro(H=Heaviside, lap=inttrans[laplace], ilap=inttrans[invlaplace]) ; 

1. Soient des constantes réelles. Déterminer successivement les images Laplace des fonctions :
   
   1. L'image Laplace du sinus est .
      Par la formule des homothéties, .
      Par ailleurs, on sait que .
   2. On a donc
      et de même
   3. On en conclut que :
      

2. En déduire quelle est la fonction ayant pour image Laplace la quantité
   
   Une identification élémentaire montre que :
   

3. Détailler les calculs de l'image Laplace de l'équation différentielle :
   
   Obtenir la valeur de sous la forme :
   
   Déterminer les fonctions et correspondantes.
   1. On écrit tout cela sous Maple:
      eqd:= diff(f(t),`$`(t,2))+diff(f(t),t)+37/4*f(t)=g(t) ;
      ini:= f(0)=-1/2, D(f)(0)=1 ;
   2. On transforme l'équation différentielle en en une équation ordinaire en  :
      lap(eqd,t,p) ; subs(ini, %) : (op@solve)(%, {lap(f(t),t,p)}) :  
      lap_eqd:= collect(%, laplace) ;
      

   3. On isole , et on calcule les fonctions ,  :
      lapg:= lap(g(t),t,p) ; rhs(lap_eqd) ;  
      LA,LB:=coeff(%,lapg,0), coeff(%,lapg,1) ;  
      A, B:= invlap(LA,p,t), invlap(LB,p,t) :  
      A:= unapply(factor(A), t) ; B:= unapply(B, t) ;
      
      
      Bien entendu, on retrouve le résultat général des questionsenu:quest_unet 2.
4. En déduire la valeur de la fonction (utilisant une convolution). On sait que la transformation de Laplace est linéaire, et que le produit des images est l'image de la convolution des originaux. On a donc :
   

5. Résoudre complètement l'équation différentielle dans le cas où . Il suffit de particulariser la valeur de . (eval@subs)(g=gg, sol) ; solf:= collect(value(%), exp, combine) ;
   

6. Vérification du résultat obtenu. Graphique de la solution. Qu'y a-t-il à remarquer ?
   1. On vérifie : (ASSERT@simplify@eval@subs)(f(t)=solf, g=gg, eqd) ;
   2. On trace la courbe (ainsi que les conditions initiales), obtenant fig:g-cos :
      f(0)+x*D(f)(0) ; pl0:= plot(subs(ini, %), x=-0.5..1, color=blue) : 
      display(pl0, plot(solf, t=-0.5..25), tickmarks=[[0,10,20],[-1/2,1/2]]) ;
   3. Comme il se doit, la condition initiale est tangente à la courbe. On constate en outre que la fonction évolue vers un régime limite, de même période que la fonction excitatrice.

Figure 1: Graphe de la solution lorsque .

2 Transformation de Laplace inverse

1. Soit la fonction déterminée par la fig:La-fonction-psi ( pour ou ).

   Figure 2: Les deux fonctions .

   

   Exprimer à l'aide de la fonction de Heaviside. Donner sa transformée de Laplace.
   1. Pour la première fonction proposée, on part de 0 avec une pente , puis on tourne en avec une pente (soit un changement de pente de ) et on tourne en , avec un changement de pente . On a donc ;
      

   2. Pour la deuxième fonction proposée, les changements de pente sont successivement et . On obtient donc :
      
      Dans les deux cas, la somme des changements de pente est nulle.
   3. La fonction étant décomposée en une somme de termes dont chacun est exprimé en fonction de la variable retardée, l'image-Laplace s'obtient aisément. Il vient :
      
      

   4. Un développement en série en donne et le terme constant, étant le terme dominant, est l'aire sous la courbe de , soit .
2. A partir de maintenant, la fonction est la fonction périodique, de période , qui coïncide avec sur l'intervalle . Croquis. Image Laplace.
   1. On peut obtenir le dessin de en se limitant aux termes visibles. Par exemple permet le tracé de la fig:La-fonction-g.
   2. On peut aussi donner une expression formelle de . Définissant la fonction par , on a .
   3. L'image-Laplace s'obtient dans les deux cas par
      

   4. On remarque que, maintenant, les développement limités, en , des images-Laplace sont, respectivement, et . Dans les deux cas, le terme dominant étant d'ordre , le coefficient est égal à la limite pour de la valeur moyenne de la fonction sur un intervalle . La fonction étant périodique, cette moyenne est égale à la moyenne sur une période, soit .

   Figure 3: Les deux fonctions .

   

3. On définit la fonction auxiliaire par . Utiliser les résultats précédents pour exprimer sous forme d'une combinaison d'exponentielles, les coefficients étant des fractions rationnelles. On trouve respectivement
   
   

4. Détailler les calculs permettant d'obtenir la valeur de la fonction . La technique de résolution consiste à trouver l'image-Laplace inverse de chacune des fractions rationnelles, puis à procéder à un décalage temporel pour tenir compte de l'exponentielle.
   1. On calcule le terme sans exponentielle
      lap_phia0:= remove(has, lap_phia, exp)  
      convert(%, parfrac,p) ; phia0:= invlap(%,p,t)*H(t) ;
      
      

   2. Puis le terme en
      lap_phia1:= select(has, lap_phia, exp(-T*p)/exp(-T*p); 
      convert(%, parfrac,p) ; invlap(%,p,t)*H(t) ; phia1:= subs(t=t+T, %) ;
      
      
      

   3. De même avec le dernier terme. On obtient :
      
      

   4. On obtient . A cette étape, il est plus commode de passer en valeurs décimales.
      Digits:=20 : phia0+phia1+phia2 : expand(subs(3*t=theta, %)) :  
      collect(%, [exp(-t/2), cos(theta), sin(theta)], evalf, distributed) :  
      subs(theta=3*t, %) : Phia:= unapply(%,t) ;
      

   5. De même, on obtient :
      

   Figure 4: Les deux fonctions .

   

5. Indiquer comment obtenir la fonction à partir de . Tracer le graphe de pour .
   1. La fonction n'étant pas nulle en dehors de , la fonction n'est pas périodique. Il n'en reste pas moins que la fonction vérifie la relation :
      
      Dans cette expression, nous avons une série formelle mais, pour une valeur fixée de , seul un nombre fini de termes interviennent (les termes avec ne sont pas encore réveillés à la date ).
   2. On trace le graphe de en ne prenant que les termes ayant une contribution visible, et on obtient la fig:La-fonction-f.

   Figure 5: Les deux fonctions .

   

6. Montrer que admet un régime limite périodique, c'est à dire qu'il existe une fonction périodique telle que lorsque .
   1. On constate sur la fig:La-fonction-f que la fonction admette un régime limite périodique. Ce fait est dû à la fois au caractère dissipatif du système (qui fait "oublier" la condition initiale) et à la périodicité de la fonction excitatrice.
   2. Au passage, on vérifie que est une fonction continue à dérivée continue en . En particulier, on voit sur la fig:La-fonction-phi que le saut de en compense exactement le saut en .
   3. La fonction est donc continue à dérivée continue en tout point. Pour ce qui est de , cette fonction est continue partout où est continue, c'est à dire pour tout non multiple exact de la période.
7. Tracer le graphe de . Obtenir une expression exacte de la fonction (on pourra utiliser evalf et se contenter d'une expression "en virgule flottante").
   1. Pour obtenir le graphe de la solution stationnaire limite, le plus simple est d'avancer d'un nombre suffisant de périodes. Dans cet exemple, il suffit de faire dans
      fkx:= add(Phib(t-T*(k-K)),k=0..4*T):
      et d'utiliser cette expression sur l'intervalle .
   2. On peut obtenir une expression exacte de en donnant une expression explicite de la somme fkx et en passant à la limite , pour restant dans . Il est plus simple d'utiliser l'existence de la solution périodique et de se contenter de déterminer la condition initiale qui conduit à cette solution. On augmente la précision des calculs par Digits:=20; et l'on vérifie que est assez grand en constatant que les résultats ne bougent plus quand augmente encore. On a
      gamma(0)=limit(fkx, t=0, left), D(gamma)(0)=limit(diff(fkx,t), t=0, left) ;
      
      

Remarque hors sujet. Il est intéressant de comparer les solutions et . Les fonctions commencent de la même façon (sous l'action des conditions initiales). Puis ces fonctions diffèrent de plus en plus jusqu'à . A partir de , la différence entre ces fonctions tend vers 0 plus vite que ces fonctions ne tendent elles-mêmes vers 0. Pour ce qui est des fonctions , elles évoluent vers des solutions périodiques différentes, déphasées et de formes différentes. Il n'y a que la période limite qui soit la même (T, celle de ).

[Comparaison des fonctions .][Comparaison des fonctions ]