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Ensait - E2 - Transformation de Laplace
Date: Évaluation du 16/12/2005 - durée 2h00
Les consignes données lors de l'évaluation MAO 2004-2005 continuent
d'être valables. Elles sont consultables à l'adresse http://www.douillet.info/~douillet/maotp/maotp_ds10/index.html.
En particulier, l'attention des étudiants est attirée sur
le fait que le trafic réseau de leur ordinateur est susceptible d'être
enregistré pendant la durée de l'évaluation.
- Détailler les calculs de l'image Laplace de l'équation différentielle
:
Obtenir la valeur de
sous la forme :
Déterminer les fonctions 
et 
correspondantes.
- En déduire la valeur de la fonction
(utilisant une convolution).
- Résoudre complètement l'équation différentielle
dans le cas où 
.
- Graphique de la solution. Vérification du résultat obtenu.
- Soit
la fonction déterminée par la fig:La-fonction-psi
(
pour 
ou 
).
Figure 1:
La fonction .
|
|
Exprimer à l'aide de la fonction de Heaviside. Donner sa transformée
de Laplace.
- A partir de maintenant, la fonction
est la fonction périodique,
de période 
, qui coïncide avec sur l'intervalle 
.
Croquis. Image Laplace.
- On définit la fonction auxiliaire
par 
.
Utiliser les résultats précédents pour exprimer 
sous
forme d'une combinaison d'exponentielles, les coefficients étant des
fractions rationnelles.
- Détailler les calculs permettant d'obtenir la valeur de la fonction
.
- Indiquer comment obtenir la fonction à partir de . Tracer
le graphe de
pour 
.
- Montrer que admet un régime limite périodique, c'est à dire qu'il
existe une fonction périodique
telle que 
lorsque 
.
- Tracer le graphe de . Obtenir une expression exacte de la
fonction (on pourra utiliser evalf et se contenter
d'une expression "en virgule flottante").
- Déterminer la série génératrice
par plusieurs méthodes.
- Résoudre la récurrence
à l'aide de séries génératrices. Obtenir une expression explicite
pour 
.
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douillet@ensait.fr
2005-12-15
