Ensait - E2 - Transformation de Laplace

Date: Évaluation du 16/12/2005 (10h15) - durée 2h00

Rappel des consignes

Les consignes données lors de l'évaluation MAO 2004-2005 continuent d'être valables. Elles sont consultables à l'adresse http://www.douillet.info/~douillet/maotp/maotp_ds10/index.html. En particulier, l'attention des étudiants est attirée sur le fait que le trafic réseau de leur ordinateur est susceptible d'être enregistré pendant la durée de l'évaluation.

1 Transformée de Laplace directe et convolutions

1. Détailler les calculs de l'image Laplace de l'équation différentielle :
   
   Obtenir la valeur de sous la forme :
   
   Déterminer les fonctions et correspondantes.
2. En déduire la valeur de la fonction (utilisant une convolution).
3. Résoudre complètement l'équation différentielle dans le cas où .
4. Graphique de la solution. Vérification du résultat obtenu.

2 Transformation de Laplace inverse

1. Soit la fonction déterminée par la fig:La-fonction-psi ( pour ou ).

   Figure 1: La fonction .

   

   Exprimer à l'aide de la fonction de Heaviside. Donner sa transformée de Laplace.
2. A partir de maintenant, la fonction est la fonction périodique, de période , qui coïncide avec sur l'intervalle . Croquis. Image Laplace.
3. On définit la fonction auxiliaire par . Utiliser les résultats précédents pour exprimer sous forme d'une combinaison d'exponentielles, les coefficients étant des fractions rationnelles.
4. Détailler les calculs permettant d'obtenir la valeur de la fonction .
5. Indiquer comment obtenir la fonction à partir de . Tracer le graphe de pour .
6. Montrer que admet un régime limite périodique, c'est à dire qu'il existe une fonction périodique telle que lorsque .
7. Tracer le graphe de . Obtenir une expression exacte de la fonction (on pourra utiliser evalf et se contenter d'une expression "en virgule flottante").

3 Séries génératrices

Cette question ne sera pas traitée par les étudiants qui passent l'évaluation au titre de l'année universitaire 2004-2005.

1. Déterminer la série génératrice par plusieurs méthodes.
2. Résoudre la récurrence à l'aide de séries génératrices. Obtenir une expression explicite pour .