Ensait - E1 - Maths. Assistées par Ordinateur

Évaluation du 2009/09/18 - projet

tous documents autorisés

algorithmListing

Descriptif du travail demandé

Les différents éléments composant les réponses aux questions posées (morceaux de code, listings de résultats, graphiques, et surtout les commentaires rédigés) doivent être organisés en un document unique, correctement ordonné. Il est rappelé que la méthode recommandée est une composition progressive de ce document, avec des ciseaux et de la colle. Au contraire, toute tentative de n'imprimer qu'à la fin est TRES vivement déconseillée.

1 Itérations d'une fonction homographique (cf TP03)

On donne le Listing 1.

1. On appelle $h$ la fonction homographique décrite aux lignes 2-4. Ecrire $h\left(z\right)$.
2. Déterminer les solutions $\alpha,$ $\beta$ de l'équation $f\left(z\right)=z$. Calculer $h'\left(\alpha\right)$ et $h'\left(\beta\right)$.
3. On pose $x_{0}=4$ et on définit les $x_{n}$ par la récurrence $x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)$. Donner les valeurs numériques des $x_{n}$, en poursuivant les calculs jusqu'à ce que $\left\vert x_{n}-x_{n-1}\right\vert<0.01$ (régler la valeur initiale et le nombre de termes en conséquence).
4. Expliquer les mathématiques sous-jacentes aux commandes des lignes 14-17.
5. Réduire la fenêtre graphique à la taille utile. Imprimer et commenter le graphique obtenu.
6. Décrire et expliquer ce qui se passe lorsque l'on part de $x_{0}=-2.7$ ?

2 Colonnes propres d'une matrice (cf TP 02)

$$A=\left(\begin{array}{cc} -4 & 302.4\\ 90 & 41\end{array}\right)$$

1. Écrire cette matrice sous Scilab. En déterminer les valeurs propres et les colonnes propres.
2. Quel est le lien entre les colonnes propres de $A$ et la partie précédente ?
3. Calculer la matrice $B=A^{2}$. Déterminer ses valeurs propres et colonnes propres. Comparer avec celles de $A$.

3 Série temporelle (cf TP 07)

1. Télécharger le fichier
   http://campus2.univ-lille2.fr/claroline/document/goto/index.php?url=%2Fdat_maotp07.txt&cidReq=N_E1_MAOTP
   et en lire les données (xxx) sous Scilab.
2. Déterminer le nombre, la moyenne, l'écart-type et l'intervalle de variation des données.
3. Représenter graphiquement la série temporelle (en abscisse : le numéro d'ordre). Visualiser moyenne et écart-type.
4. On constate que les données contiennent une composante périodique. Calculer la transformée de Fourier des données par la commande yyy=fft(xxx). Représentation graphique de abs(yyy). Détermination de la période $T$.
5. Détermination numérique de la partie périodique (variations saisonnières). Représentation graphique.
6. Calculer la moyenne mobile des données (sur une longueur T).
7. Déterminer et représenter graphiquement les résiduels, c'est à dire la différence entre les données réelles et les données "prévisibles", c'est à dire moyenne mobile plus variations saisonnières