Ensait - A3 - Recherche Opérationnelle

Date: Évaluation du 08/12/2004

Durée : 2 heures. Tous documents autorisés.
L'usage d'un ordinateur (et des programmes indiqués en cours) est recommandé.
Le listing des calculs fait sur ordinateur sera joint (deux pages par feuille, folioté).
Le commentaire écrit fera des références précises à cette feuille de calcul.

1 Optimisation et rachat de contraintes

Une entreprise fabrique trois types de fils X, Y, Z. Le processus commence par une unité de polycondensation/extrusion. Les produits passent ensuite dans un deuxième atelier "texturation" où, grâce à sept appareils similaires utilisés chacun par un ouvrier, on effectue un certain nombre d'opérations. Enfin dans un atelier "retorderie/frisure", quarante ouvriers réalisent le traitement final du produit. L'unité "poly/extrusion" peut réaliser les productions suivantes par heure : 75 unités de fil X ; ou 50 unités de fil Y ; ou 30 unités de fil Z. Les appareils de l'atelier "texturation" peuvent réaliser les productions suivantes par heure et par machine : 8 unités de fil X ; ou 5 unités de fil Y ; ou 4 unités de fil Z. Enfin, les ouvriers de l'atelier "retorderie/frisure" mettent chacun une heure pour terminer une unité de fil quelle qu'en soit le type. Dans cette société, chaque ouvrier peut travailler au maximum 173 heures par mois. Les unités de fils se vendent avec, respectivement, un bénéfice de 400 €, 550 €  et 700 €.

1. Déterminer la production qui maximise le bénéfice.
2. On envisage l'utilisation d'un dispositif permettant de réaliser la finition du fil X en 45 minutes par unité (le traitement des fils Y et Z restant inchangés). Quel est le prix maximum acceptable pour un tel dispositif ? Quelle est son incidence unitaire ?
3. On se demande ce qu'il résulterait de l'embauche d'une personne de plus à l'atelier de finition.
4. Quel est le prix maximal à payer pour un dispositif améliorant de 4% la productivité de l'unité "poly/extrusion" ?

.../...

2 Optimisation avec contraintes minoration

Maximiser :

3 Optimisation d'une file d'attente

Dans une certaine entreprise, la valeur ajoutée par ouvrier et par heure est de 100 €. La journée de travail est de 7 heures. Les ouvriers doivent passer de temps à autre au service du personnel. On modélise leurs inter-arrivées par un processus exponentiel avec (quatre arrivées par heure en moyenne). Le temps de traitement de leur demande par l'employé présent est modélisé par un processus exponentiel avec (six traitements par heure en moyenne). Le salaire journalier d'un employé est 72 €.

1. Quel est le temps moyen de passage d'un ouvrier au service du personnel ?
2. Quel est le coût journalier du processus pour l'entreprise ?
3. On se propose d'optimiser ce processus en embauchant un ou plusieurs employés supplémentaires. Déterminer la fonction de coût pour l'entreprise en assimilant l'ensemble des employés à un serveur exponentiel unique, de capacité . Comment obtenir le coût minimal ?
4. Reprendre la question précédente en considérant que chaque employé travaille isolément des autres, et prend en charge un taux d'arrivées de .
5. Que peut-on dire pour le cas où il y a une file d'attente unique, les services étant effectués par l'un des employés disponibles ?
6. Quel sera alors le taux d'occupation des employés du service ? Comparer avec le taux actuel.
7. Vérifier les résultats 1 et 5 par une simulation (dans chaque cas, prendre N=500).