Ensait - A3 - Recherche Opérationnelle

Date: Évaluation du 18/09/2007

Durée : 2 heures. Tous documents autorisés.
L'usage d'un ordinateur (et des programmes indiqués en cours) est recommandé.
Le listing des calculs fait sur ordinateur sera joint (deux pages par feuille, folioté).
Le commentaire écrit fera des références précises à cette feuille de calcul.

1 Files d'attente

On considère une file d'attente, ayant respectivement $a\left(t\right)$ et $s\left(\tau\right)$ pour loi des inter-arrivées A et des services $S$. On a donc

$$Pr\left(A\in\left[t,\, t+\, \mathrm{d}t\right]\right)=a\left(t\ri... ...au,\,\tau+\, \mathrm{d}\tau \right]\right)=s\left(\tau\right)\, \mathrm{d}\tau$$

Initialiser le générateur aléatoire par la commande   _seed:= jjmmyyyy;   de sorte que votre date de naissance soit jj/mm/yyyy (jour, mois, année).

1.1 File M/U

Dans cette partie, on prend

$$s\left(\tau\right)=\left(H\left(\tau-3\right)-H\left(\tau-11\right)\right)/8\qquad;\qquad a\left(t\right)=\exp\left(-t/8\right)/8$$

1. Déterminer les moyennes et variances de $A$ et de $S$, ainsi que les débits $\lambda$ et $\mu$.
2. Programmer les générateurs associés $ga$ et $gs$.
3. Utiliser le programme vu en cours et en TD pour simuler $N\approx5000$ événements à partir d'un système vide. Faire ce qu'il faut pour observer (du point de vue des clients) les temps de service, les temps de séjour ainsi que le nombre de clients déjà présents lors de leur arrivée et observer (du point de vue du serveur) les nombres de clients présents dans le système. Faire ce qu'il faut pour terminer la simulation sur un système vide.
4. Pour les temps de service : comparer, par un test du $\chi^{2}$, les temps de service obtenus par simulation avec la distribution théorique. On choisira les classes pour que $\nu=10$.
5. Pour les temps de séjour : moyenne, écart-type, histogramme.
6. Pour les nombres de clients : moyenne, écart-type, histogramme.

1.2 File M/M

Dans cette partie, on suppose que $A$ et $S$ sont exponentiels, les valeurs de $\lambda$ et $\mu$ n'ayant pas changé.

1. Utiliser le programme vu en cours et en TD pour simuler $N\approx5000$ événements à partir d'un système vide (et terminer sus un système vide).
2. Pour les temps de service : moyenne, écart-type, histogramme. Comparaison graphique avec le modèle théorique.
3. Mêmes questions pour les nombres de clients.
4. Pour les temps de séjour : la file étant M/M, donner la loi des temps de séjour dans le système. Comparer, par un test du $\chi^{2}$, les temps de séjour obtenus par simulation avec la distribution théorique. On choisira les classes pour que $\nu=10$.

2 Optimisation et rachat de contraintes

Être attentif aux données (elles ont changé par rapport au projet d'évaluation).
Une entreprise fabrique trois types de fils X, Y, Z. Le processus commence par une unité de polycondensation/extrusion. Les produits passent ensuite dans un deuxième atelier "texturation" où, grâce à huit appareils similaires utilisés chacun par un ouvrier, on effectue un certain nombre d'opérations. Enfin dans un atelier "retorderie/frisure", 40 ouvriers réalisent le traitement final du produit. L'unité "poly/extrusion" peut réaliser les productions suivantes par heure : 110 unités de fil X ; ou 55 unités de fil Y ; ou 30 unités de fil Z. Les appareils de l'atelier "texturation" peuvent réaliser les productions suivantes par heure et par machine : 16 unités de fil X ; ou 9 unités de fil Y ; ou 6 unités de fil Z. Enfin, les ouvriers de l'atelier "retorderie/frisure" mettent chacun une heure pour terminer une unité de fil X ou Y et 1h 15 mn pour terminer une unité de fil Z. Dans cette société, chaque ouvrier peut travailler au maximum 150 heures par mois. La capacité de stockage de l'atelier impose de ne pas produire plus de 6000 unités de fil par mois (tous types confondus). Enfin, les unités de fil se vendent avec, respectivement, un bénéfice de 420 €, 520 € et 640 €.

1. Déterminer la production qui maximise le bénéfice.
2. On envisage l'utilisation d'un dispositif permettant de réaliser la finition du fil X en 45 minutes par unité (le traitement des fils Y et Z restant inchangés). Quel est la somme maximale à investir ? Quelle est votre opinion sur la décision à prendre ?
3. En amortissant la dépense sur un an, quel est le prix maximal à payer pour une augmentation de la capacité de stockage de l'atelier ?
4. En amortissant la dépense sur un an, quel est le prix maximal à payer pour un dispositif améliorant de 4% la productivité globale de l'unité "poly/extrusion" ?
5. On envisage d'augmenter le nombre $R$ de postes de travail à la retorderie. Quel est, en fonction des coûts, le nombre de postes à créer ?
6. On envisage une campagne de publicité permettant de faire augmenter le prix de vente du fil X. Quel serait le prix unitaire minimal qui conduirait à une augmentation des bénéfices ? Que préconisez-vous ?