2.1 Représentation cartésienne d'un plan $\omega$

Definition 2.1.1   Soit $P=\left[0\,..\, a-1\right]\times\left[0\,..\, b-1\right]\times\left[0\,..\, c-1\right]$. On appelle codage euclidien l'application :

$$% latex2html id marker 7000\begin{array}{ccc} P & \hookrig... ...t(u,\, v,\, w\right) & \mapsto & s=u+a\, v+a\, b\, w\end{array}$$

Proposition 2.1.2   Un codage euclidien est une bijection. Sa bijection réciproque est :

$$u=\mathrm{rem}\left(s,\, a\right)\,;... ...a}}\,;\, v=\mathrm{rem}\left(q,\, b\right)\,;\, w=\displaystyle {\frac{q-v}{b}}$$

La généralisation au cas où $P$ est le produit d'un autre nombre de segments est évidente.

Definition 2.1.3   Un codage euclidien à deux coordonnées $x,\, y$ d'un ensemble de modalités s'obtient en répartissant les modalités en deux groupes. On obtient l'abscisse par un codage euclidien (simple) sur le premier groupe, et l'ordonnée par codage euclidien sur le deuxième groupe.

Example 2.1.4   Soit à coder l'espace $\Omega=\left[1..2\right]\times\left[1..2\right]\times\left[1..3\right]$ défini par trois modalités prenant respectivement 2, 2, et 3 valeurs. On regroupe les deux premières modalités, pour que les deux côtés du rectangle ne soient pas trop différents : $4\times3$. La représentation cartésienne du plan d'expérience $\omega=[[1,\,2,\,1],\,[1,\,2,\,2],\,[2,\,2,\,1],\,[2,\,1,\,1],\,[3,\,2,\,1]]$ est :

$$\begin{array}{ccccrcc} & & & x & & & x\\ & & & 0 & & & 3\... ... & & & 0 & . & 0 & .\\ y\!\! & 2 & & . & 0 & . & .\end{array}$$

C'est ainsi que $\left[a,\, b,\, c\right]=\left[1,\,2,\,2\right]$ se code en $x=\left(a-1\right)+2\times\left(b-1\right)=2$, $y=\left(c-1\right)=1$.

Remark 2.1.5   L'une des utilités de la représentation cartésienne est de montrer que la "méthode" consistant à faire varier un facteur après l'autre est optimalement mauvaise. En effet, sa représentation est :

$$\begin{array}{ccccrcc} & & & x & & & x\\ & & & 0 & & & 3\... ... & & & 0 & . & . & .\\ y\!\! & 2 & & 0 & . & . & .\end{array}$$

Example 2.1.6   En utilisant le codage $\left[a,\, b,\, c,\, d,\, e\right]\mapsto\left(a+2c+6e,\, b+3d\right)$, le plan d'expérience de la FIG. 1.1 se représente par :

$$\begin{array}{cccccccccccccccccccccccccccccc} & & & x & & &... ... & & . & . & . & . & 0 & . & & . & . & . & . & . & .\end{array}$$

On constate que chacun des 16 couples $\left(d,\, e\right)$ possibles figure une et une seule fois dans le plan d'expérience choisi.

Scilab 2.1.7   Les programmes donnés en annexe permettent d'utiliser différentes cartographies pour représenter un même plan d'expérience et, ainsi, de mettre en valeur les différentes symétries d'un plan donné.

TAB. 2.1: Différentes cartographies d'un même plan

$\begin{matrix} 1&2&1\cr 1&2&1\cr 2&4&2 \end{matrix}$

$\begin{matrix} 1&1&1&1\cr 1&1&1&1\cr 1&1&1&1\cr 1&1&1&1 \end{matrix}$

$\begin{matrix} 1&0&0&1&0&1&1&0\cr 0&1&1&0&1&0&0&1\cr 1&0&0&1&0&1&1&0\cr 0&1&1&0&1&0&0&1 \end{matrix}$