2.2 Valeur propres, colonnes propres

Definition 2.2.1   Soit $M$ une matrice carrée. On dit que $V$ est une colonne propre pour $M$ si (1) la colonne $V$ n'est pas la colonne nulle et si (2) il existe une constante $\lambda\in\mathbb{C}$ (la valeur propre associée) telle que :

$$M\, V=\lambda\, V$$

Theorem 2.2.2   Une constante $\lambda$ est valeur propre de la matrice carrée $M$ si et seulement si $\lambda$ est racine du polynôme caractéristique :

$$\chi_{M}\left(\lambda\right)\doteq\det\left(\lambda-M\right)=\lambda^{n}-\mathrm{trace}\, M\,\lambda^{n-1}+\cdots+\left(-1\right)^{n}\,\det M$$

Preuve. Par définition, $\left(\lambda-M\right)\, .\, V=\overrightarrow{0}$ avec $V\neq\overrightarrow{0}$. La matrice $\left(\lambda-M\right)$ n'est donc pas inversible lorsque $\lambda$ est valeur propre : son déterminant est donc nul. $\qedsymbol$

Remark 2.2.3   On rappelle que $\det \left( \begin{smallmatrix}a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \right) =a\, d-b\, c$ et que (règle de Sarrus) 

$$\det\left(\begin{array}{ccc} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & j\end{array}\right)=aej+bfg+cdh-afh-bdj-ceg$$

Plus généralement, $\det M$ contient $n!$ termes, chaque terme étant le produit de $n$ facteurs (un par ligne et par colonne) avec les signes convenables.

Definition 2.2.4   On dit qu'une matrice carrée $M$ est diagonalisable lorsqu'il existe $\dim M$ colonnes propres indépendantes. Ceci revient à l'existence d'une matrice inversible $P$ et d'une matrice diagonale $\Delta$ telles que :

$$P^{-1}\, M\, P=\Delta\quad;\quad M=P\,\Delta\, P^{-1}$$

Proposition 2.2.5   Lorsque $P$ est inversible, les matrices $M$ et $P^{-1}\, .\, M\, .\, P$ ont le même polynôme caractéristique. En particulier elles ont même trace (opposée de la somme des racines) et même déterminant (produit des racines, au signe près).

Theorem 2.2.6   Lorsque les racines du polynôme caractéristiques sont distinctes deux à deux, la matrice est diagonalisable.

Preuve. Pour chaque racine du polynôme caractéristique, il existe au moins une colonne propre. Si existe $n$ racines (distinctes), on choisit une colonne propre $V_{i}\neq\overrightarrow{0}$ pour chaque $\lambda_{i}$. Supposons $\sum\mu_{i}V_{i}=\overrightarrow{0}$. Alors, pour $0\leq j\leq n-1$, $M^{j}\, .\, \overrightarrow{0}=\sum\mu_{i}\lambda_{i}^{j}V_{i}=\overrightarrow{0}$. Comme la matrice $\left(\lambda_{i}^{j}\right)$ est inversible (Vandermonde), chaque $\mu_{i}V_{i}$ est nul et donc chaque $\mu_{i}$, montrant que la famille des $n$ colonnes propres n'est pas une famille liée. $\qedsymbol$

Theorem 2.2.7   Une matrice symétrique réelle est toujours diagonalisable, ses valeurs propres sont réelles et on peut choisir $P$ orthogonale réelle (i.e. telle que $\raisebox{0.5 em}{\normalfont\textsf{t}}{P}\, .\, P$ soit diagonale).

Preuve. Soit $S$ symétrique réelle, $\lambda\in\mathbb{C}$ une valeur propre et $V$ une colonne propre. La quantité $\raisebox{0.5 em}{\normalfont\textsf{t}}{\overline{V}}\, S\, V$ est un nombre, et donc invariant par transposition. Il vient :

$$\begin{array}{clllc} \lambda\,\left\vert V\right\vert^{2} & ... ...) & =\overline{\lambda}\,\left\vert V\right\vert^{2}\end{array}$$

montrant que $\lambda$ est réelle. Le fait que $\Re V$ et $\Im V$ soient nuls ou vecteurs propres explique la possibilité de $P$ réelle. Une preuve complète se trouve dans Arnaudiès and Fraysse (1990, p.110). $\qedsymbol$