2.3 Comment choisir un plan d'expérience ?

2.3.1 Comment être optimalement mauvais

Proposition 2.3.1   La matrice $S\doteq\raisebox{0.5 em}{\normalfont\textsf{t}}{A}\, .\, A$ est inversible si et seulement si le rang des lignes de $A$ (les essais) est au moins égal au nombre des colonnes de $A$ (le nombre de paramètres à estimer).

Remark 2.3.2   A part le cas $\det S=0$ (pas assez d'essais, ou bien essais liés entre eux), faire varier un paramètre après l'autre donne un plan optimalement mauvais. Est-ce bien nécessaire ?

2.3.2 Choix aléatoire

Algorithm 2.3.3 (choix aléatoire)   Choisir le nombre d'essais : il faut au moins le nombre de paramètres à déterminer, plus "une marge" pour déterminer le facteur de qualité. On obtient ensuite $\omega$ par tirage au sort (sans remise) au sein de $\Omega$. Pour cela, on procède à un tirage au sort dans l'intervalle $\left[0\,..\,\sharp\Omega-1\right]$, puis on utilise Proposition 2.1.2 pour décoder les numéros obtenus.

Definition 2.3.4   On dit qu'un plan d'expérience $\omega_{1}$ est meilleur qu'un autre $\omega_{2}$ (de même taille) lorsque les valeurs propres de la matrice $\left(\raisebox{0.5 em}{\normalfont\textsf{t}}{A}_{1}\, .\, A_{1}\right)$ sont plus grandes que celles de $\left(\raisebox{0.5 em}{\normalfont\textsf{t}}{A}_{2}\, .\, A_{2}\right)$. Ce critère est lié à la transmission des erreurs de $b$ vers $f^{*}$. Vu le codage utilisé, un critère plus rapide à mettre en oeuvre est de demander une augmentation du déterminant et une diminution de la somme des valeurs absolues des éléments non diagonaux.

Algorithm 2.3.5 (choix itérés)   Choisir plusieurs plans d'expérience en utilisant l'Algorithm 2.3.3 et retenir le meilleur.

Algorithm 2.3.6 (choix dirigés)   Choisir un plan d'expérience en utilisant l'Algorithm 2.3.5. Sélectionner une expérience du plan. La remplacer successivement par chaque expérience non sélectionnée. Conserver le meilleur remplaçant. Choisir une autre expérience du plan et itérer tant que l'on constate une amélioration.

Exercise 2.3.7   Pour chacune des situations où il existe une méthode explicite pour fabriquer un plan exactement optimal, vérifier qu'une itération de l'Algorithm 2.3.6 conduit à un plan qui n'est pas loin de l'optimal.

2.3.3 Plan complet $2^{m}$

Definition 2.3.8   Procéder à tous les essais possibles lorsque $\Omega$ est engendré par $m$ modalités prenant chacune deux valeurs s'appelle un plan complet $2^{m}$.

Algorithm 2.3.9   On engendre un plan binaire complet $2^{m}$ en considérant l'écriture binaire des nombres entiers compris entre 0 et $2^{m}-1$ :

$$\sum_{1}^{m}x_{i}2^{j-1}\in\left[0,\,2^{m}-1\right]$$

Bien entendu, l'ordre de réalisation des expérience doit être tiré au sort (randomisation) de façon à "éliminer en moyenne" l'influence de facteurs extérieurs (température ambiante, usure des appareils, ...).

Theorem 2.3.10   Lorsque les $m$ modalités sont effectivement binaires, un plan complet conduit à un modèle qui rend compte de toutes les interactions entre les modalités.

Preuve. Soient $X_{j}$ les variables obtenues en faisant tous les produits possibles des variables $x_{i}\in\left\{ -1,\,+1\right\}$ correspondant aux $m$ modalités (il est raisonnable de poser $X_{0}=1$ et $X_{i}=x_{i}$). Chaque variable $X_{j}$ est associée à un produit sans répétitions puisque les puissances d'un $x_{i}$ valent soit $x_{i}$ soit $1$. Il existe $\left( \begin{smallmatrix}m \\ 2 \end{smallmatrix} \right)$ produits à deux facteurs ... et finalement $2^{m}$ variables $X_{j}$ puisque $\sum{{m \choose k}}=2^{m}$. Utilisant un développement en série, on voit que toute fonction des $x_{i}$ est une combinaison linéaire des $X_{j}$, nécessitant $2^{m}$ coefficients soit exactement le nombre d'essais.

Il reste à prouver que la matrice $A$ est inversible. Or un calcul évident montre que $\raisebox{0.5 em}{\normalfont\textsf{t}}{A}\, .\, A=2^{m}\, I$ : la matrice est non seulement inversible, mais orthogonale : ce plan est optimal en termes de propagation des erreurs. $\qedsymbol$

Remark 2.3.11   Le Theorem 2.3.10 ne s'applique absolument pas lorsque les modalités binaires ont été choisies arbitrairement pour modéliser des grandeurs continues.

2.3.4 Plan fractionnel $2^{n-p}$

Definition 2.3.12   Un plan fractionnel consiste à utiliser le fait que les colonnes codant un plan complet $2^{m}$ sont linéairement indépendantes. Bien entendu, on réduit fortement la possibilité de mettre en évidence les interactions.

Example 2.3.13   Un plan complet $2^{4}$ comporte $16$ essais portant sur $4$ variables $x_{i}\in\{0,\,1\}$. Si l'on considère le plan à $5$ variables défini par $y_{i}=x_{i}$ et $y_{5}=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}$, les $16$ essais permettent d'obtenir les valeurs de la constante, des $5$ coefficients linéaires et des $\left( \begin{smallmatrix}5 \\ 2 \end{smallmatrix} \right)=10$ coefficients du second ordre. Mais le coefficient de $x_{1}x_{2}$ est "à partager" entre les termes $y_{1}y_{2}$ et $y_{3}y_{4}y_{5}$ qui auraient été distingués dans un plan complet $2^{5}$. C'est le mécanisme d'aliasing.

Algorithm 2.3.14   Examiner les cas d'aliasing et "laisser libre" les interactions les plus probables.

Exercise 2.3.15   Montrer que pour $6$ modalités binaires, il n'est besoin que de $22$ coefficients pour tenir compte des interactions du second ordre. Obtenir un plan $2^{6-1}$ permettant cela.

Exercise 2.3.16   Même question avec $8$ modalités binaires : quel est le plus petit plan permettant d'obtenir toutes les interactions 2 à 2 ?