3.3 Surfaces de réponse

There still remains some art in both the design and the analysis of experiments, which can only be learned from experience. In addition, the role of engineering judgment should not be underestimated
(from http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/casestud.htm).

Definition 3.3.1   On appelle "response surface design" un plan d'expérience destiné à obtenir une fonction non linéaire simple comme modèle du phénomène.

Remark 3.3.2   A nouveau, la phase "asserting" est essentielle. Si la réalité du phénomène conduit naturellement à un modèle en $z=x_{1}x_{2}x_{3}$ il vaut évidemment mieux chercher un modèle linéaire sur les logarithmes...

Remark 3.3.3   Dans le même genre, les études concernant la capillarite mesurent et utilisent des $\cos\alpha$. Se demander si la réalité physique est capturée par $\alpha$ ou par $\cos\alpha$ n'est pas inutile : ce qui est linéaire pour l'un des deux paramètres ne peut pas être linéaire pour l'autre.

Proposition 3.3.4 (CC=Centered Cubic)   Si l'on veut montrer qu'un modèle linéaire est le bon, une répartition cubique (i.e. $2^{n}$ complet) centrée est la meilleure. Le fait de prendre des points répétés au centre permet à la fois d'étudier la répétabilité et de vérifier l'absence de courbure.

Proposition 3.3.5 (CCF=Cubic Centered Faces)   Lorsqu'un plan binaire complet a déjà été réalisé (e.g. en tant que restriction d'un plan fractionnaire à ses paramètres les plus significatifs), une bonne façon de le compléter pour ajuster un modèle quadratique est de centrer les faces et de répéter le point central.

Remark 3.3.6 (CCC=Circumscribed Centered Cubic)   Si la chose est possible, il vaut mieux se placer sur la sphère circonscrite. Mais cela introduit cinq niveaux par modalité, au lieu de 3. Comparons, pour un plan à trois modalités, différentes valeurs de $k$ : CCF ($k=1$) et CCC($k>1$). Avec $7$ répétitions du centre, on obtient la matrice donnée TAB. 3.1.

TAB. 3.1: Plan cubique à faces centrées

Les matrices $S=\raisebox{0.5 em}{\normalfont\textsf{t}}{A}.A$ correspondantes sont données TAB. 3.2. En appelant $r$ le nombre de réplications du centre, quelques calculs montrent que $S\left(k,\,r\right)$ admet pour valeurs propres $\lambda=8$ (triple), $\lambda=8+2k^{2}$ (triple), $\lambda=2k^{4}$ (double) ainsi que deux autres valeurs propres $\lambda_{1}<\lambda_{2}$ dépendant de $k$ et de $r$. Pour $k=1$, la plus petite valeur propre est $2$ (pour $r\geq1$). Pour $k=1.2$, la plus petite valeur propre est $4$ à condition que $r\geq5$. A partir de $k>1.4$, toutes les valeurs propres sauf une valent $8$ ou plus... mais $r=7$ assure seulement $\lambda>5$.

TAB. 3.2: Plan cubique à faces centrées

Remark 3.3.7   Un peu de calcul montre que le choix $k=\sqrt[4]{8}\approx1.68$ conduit à une expression de $\sigma_{Y}^{2}$ ayant une symétrie sphérique, c'est à dire dépendant uniquement de $\rho=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}$. Pour $r=6$, on obtient $\sigma_{Y}^{2}<0.2\,\sigma_{\nu}^{2}$ uniformément dans le domaine $\rho\leq1$.

Proposition 3.3.8 (Box-Behnken)   Lorsque l'on ne dispose pas de résultats préalables, il est intéressant de considérer les centres des arêtes du cube (et de répéter le point central).

Remark 3.3.9   Pour un plan Box-Behnken à trois modalités, il y a $12$ points non centraux et $r$ réplications du centre. Les valeurs propres de $S$ sont alors $\lambda=4$ (ordre $5$), $\lambda=8$ (triple) ainsi que deux autres $\lambda_{1}<\lambda_{2}$, qui dépendent de $r$. Il faut au moins $r\geq8$ pour que $\lambda_{1}\geq4$. Par ailleurs, on constate que, pour $r=3$ et $\rho<\sqrt{2}$, on a la majoration $\sigma_{Y}^{2}\leq0.5\,\sigma_{\nu}^{2}$ (il y a une forte anisotropie).