B.1 Calcul de l'inverse d'une matrice par le pivot de Gauss

Definition B.1.1   Une matrice de Gauss $G_{i}$ est une matrice carrée dont tous les éléments sont nuls sauf ceux de la diagonale, qui valent $1$, et ceux de la $i$-ème colonne.

Proposition B.1.2   Une matrice de Gauss est inversible et l'on a :

$$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ a & 1 & 0\\ b & 0 & 1\end{... ...left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ -a & 1 & 0\\ -b & 0 & 1\end{array}\right)$$

Algorithm B.1.3   L'algorithme de Gauss consiste à enchaîner des actions sur les lignes (multiplication à gauche par des matrices de Gauss) de façon à vider successivement les colonnes de leurs éléments non-diagonaux. On obtient alors

$$G_{n}.\,\cdots\,.G_{2}.G_{1}.A=\Delta$$

Si les éléments (diagonaux) de $\Delta$ sont tous non nuls, $A$ est inversible et

$$A^{-1}=\Delta^{-1}.G_{n}.\,\cdots\,.G_{2}.G_{1}$$

On facilite le calcul du produit $G_{n}.\,\cdots\,.G_{2}.G_{1}$ en faisant agir les matrices $G_{i}$ sur la matrice $n\times2n$ obtenue en juxtaposant $A$ et la matrice unité (cf. FIG. B.1).

FIG. B.1: Version "explicative" de l'algorithme de Gauss