1.2 Un exemple

La FIG. 1.1 ci-dessous est extraite de () et résume une expérimentation concernant la conception d'une prise électrique. L'objectif est de déterminer quelle est la combinaison conduisant à la température d'utilisation la plus basse.

**FIG. 1.1:** Une expérimentation et ses résultats.
$\begin{figure}\begin{centering}\begin{tabular}{ccccccc} \hline \char93 & Presse... ... 59°C\tabularnewline \hline \end{tabular}\par \end{centering}\par\end{figure}$

Definition 1.2.1 Il y a les grandeurs mesurables (additives). Exemple : les longueurs. Il y a les grandeurs repérables (comparaisons ordonnées). Exemple : les températures. Les autres quantités s'appellent des modalités.

Example 1.2.2 Dans la FIG. 1.1, il y a 5 modalités, tandis que l'objectif est une grandeur repérable.

Definition 1.2.3 On appelle espace des modalités l'ensemble $\Omega$ de toutes les combinaisons réalisables des différentes modalités. C'est un sous ensemble de leur ensemble produit.

Definition 1.2.4 Un plan d'expérience consiste à choisir un sous ensemble $\omega$ de l'ensemble $\Omega$ .

Definition 1.2.6 Lorsqu'une modalité

prend

valeurs $\xi_{0},\,\xi_{1},\,\cdots,\,\xi_{n}$ on appelle codage complet le $\left(n+1\right)$ -uplet $\left(x_{0},\, x_{1},\,\cdots,\, x_{n}\right)$ où les nombres $x_{i}$ valent 0 lorsque $X\neq\xi_{i}$ et

lorsque $X=\xi_{i}$ .

Proposition 1.2.7 On a alors la relation de liaison :

$\displaystyle \forall\xi,\,\sum_{0}^{n}x_{i}=1.$

Definition 1.2.8 Le codage réduit d'une modalité ayant

valeurs est un

-uplet. Ce codage dépend du choix de la modalité de référence ( $\xi_{0}$ ). Il est défini par :

$\displaystyle \xi_{0}$	$% latex2html id marker 6111 $\displaystyle \mapsto$$	$\displaystyle \left(-1,\,-1,\,\cdots,\,-1\right)$
$\displaystyle \xi_{i}$	$% latex2html id marker 6117 $\displaystyle \mapsto$$	$\displaystyle \left(\; x_{1},\; x_{2},\,\cdots,\; x_{n}\right)\qquad{si\, i\neq0}$

Definition 1.2.9 Un plan équilibré est un plan d'expérience pour lequel les différentes valeurs d'une même modalité sont visitées le même nombre de fois.

Example 1.2.10 Les codes et les nombres de visites correspondant à la FIG. 1.1 sont donnés par la FIG. 1.2.

**FIG. 1.2:** Codes et nombres de visites
$\begin{figure}\begin{tabular}{\vert c\vert c\vert c\vert} \hline \multicolumn{3... ...0& +1& \char93 4\tabularnewline \hline \end{tabular}\hfill . \par\end{figure}$

Proposition 1.2.11 Lorsqu'un plan est équilibré pour une certaine modalité, les codages réduits correspondants ont une moyenne nulle.

Definition 1.2.12 Le code d'une expérience est "

" suivi de la séquence des codages réduits de chaque modalité.

Example 1.2.13 Ici, la longueur des codes est

et le code de l'expérience

est:

$\displaystyle 1,\;-1,\;1,0,\;-1,-1,\;0,0,1,\;0,1,0$

Exercise 1.2.14 Les données de FIG. 1.1, reprises de Delplanque and Louvet (2005), sont accessibles à l'adresse
http://www.douillet.info/~douillet/cours/planx/datas/experimentique.txt.
Lire ce fichier, le transformer, coder et obtenir la matrice $16\times12$ :

$\displaystyle ma,\, mb=\left[\begin{array}{rrrrrrrrrrrr} 1 & -1 & -1 & -1 & -1 ... ... 49.\\ 55.\\ 63.\\ 52.\\ 42.\\ 64.\\ 58.\\ 52.\\ 59.\end{array}\right]$