Ensait - A2 - Plans d'expérience

Date: Corrigé du DS du 05/11/2003 - durée 2h00

Durée : 2 heures. Tous documents autorisés.
L'usage d'un ordinateur (et des programmes indiqués en cours) est recommandé.
Le listing des calculs fait sur ordinateur sera joint (deux pages par feuille, folioté).
Le commentaire écrit fera des références précises à cette feuille de calcul.

Dans ce corrigé, les commandes Maple sont en caractères typewriter et les "réponses Maple" au format équation. Il nous a semblé que l'on pouvait améliorer la lisibilité de ces listings par une commande sayval, dont le résultat est d'afficher côte à côte la question et la réponse.

sayval:= proc(z::uneval); z= eval(z) ; end:

Comme il se doit, un commentaire en langage ordinaire accompagne le tout. Un des objectif de ce commentaire est le formatage des résultats, destiné à ne pas afficher avec douze décimales un résultat dont dix décimales sont incertaines.

1 Calculs élémentaires

1. est une v.a. . Que valent , et ?
   Calculez .

   m,s:=17, 2.9 ; esp=m, sd=s, var=s2 ; sayval(1-Norlaw(m,s,18)) ; 

   
   
   Cette probabilité est donc de 37%.
2. Si les âges d'un groupe de personnes sont distribués suivant la loi , quel est le pourcentage des membres de ce groupe ayant : (a) moins de 27 ans ; ( b) au moins 26 ans ; (c) entre 21 et 24 ans ?

   m,s:=25, 4 ; esp=m, sd=s, var=s2 ; sayval(Norlaw(m,s,27)); sayval(1-Norlaw(m,s,26)) ; sayval(Norlaw(m,s,24)-Norlaw(m,s,21)) ;

   
   
   
   
   Les réponses sont donc respectivement : 69%, 40% et 24%.
3. Déterminer et sachant que la variable suit une loi normale et que et .

   '{IGauss(0.31)=(7-mu)/sigma, IGauss(1-0.44)=(18-mu)/sigma}' ;  solve(rhs(%));

   
   Conduisant à :
   

2 Loi binomiale et loi normale

On considère une variable distribuée selon la loi binomiale avec pour paramètres et .

1. Donner la formule de .

   n,p,q:= 8, 0.4, 1-'p' ; psi:= unapply( binomial(n,k)*pk*q(n-k),k) ; 

   
   

2. Donner les valeurs à six décimales de pour .

   seq(psi(k),k=0..n) ; 

   

3. Rappeler les formules de calcul de l'espérance et de la variance d'une variable aléatoire discrète. Utiliser ces formules et les valeurs de Q2 pour calculer des valeurs approchées et .

   sayval(sum(psi(k), k=0..n)) ;  sayval(sum(k*psi(k), k=0..n)) ; mu:= rhs(%) : sayval(sum(k2*psi(k), k=0..n)-mu2) ; sigma:= sqrt(rhs(%)) :  sayval([mu=n*p, sigma2=n*p*q]) ; 

   
   
   

4. Comparer avec les valeurs exactes (rappeler les formules valables pour une variable suivant la loi binomiale). Un histogramme est demandé. On sait que les valeurs théoriques sont . En reportant, on retrouve les valeurs obtenues. L'histogramme est obtenu en choisissant des classes centrées sur les valeurs réellement obtenues.

   tal:= [seq(Weight(k-1/2..k+1/2, psi(k)), k=0..n)] :  pla:= stats[statplots, histogram](tal) :  plb:= plot([[mu+sigma,t,t=0..0.4/sigma],[mu-sigma,t,t=0..0.4/sigma]],      color=red, linestyle=16) : display(pla,plb) ;

   La hauteur probable du trait () est obtenue par référence au modèle normal. On obtient la figure 1.

   Figure 1: Histograme de la loi binomiale .

   

5. Quelles sont les valeurs des paramètres de la variable normale présentant la meilleure ressemblance avec la variable binomiale étudiée ci-dessus ? Donner les valeurs à trois décimales de pour cette variable normale. Histogramme.
   1. On sait que pour "assez grand" la loi de la variable réduite associée converge vers la loi de Gauss. La variable suit donc, de façon approchée, une loi normale ayant et comme paramètres. Les probabilités sont donc données par les variations de la fonction de répartition.

      'phi(k)=Norlaw(mu, sigma, k+1/2)-Norlaw(mu, sigma, k-1/2)' ;  phi:= unapply(rhs(%),k) : seq(psi(k),k=0..n) ; 

      
      

   2. Il convient de tenir compte du phénomène suivant. La loi normale prend ses valeurs sur tout entier, alors que la loi binomiale est à support fini. Il peut donc sembler utile de renormaliser les probabilités obtenues en divisant par la masse totale (ici ). Une autre façon de faire serait de prolonger à l'infini les deux classes extrêmes.

      sayval(sum(phi(k), k=0..n)) ; masse:= rhs(%) :  sayval(sum(k*phi(k), k=0..n)/masse) ; mu1:= rhs(%) :  sayval(sum(k2*phi(k), k=0..n)/masse-mu12) ; sigma1:= sqrt(rhs(%)) : sayval([mu=mu1, sigma2=sigma12]) ; 

      
      
      
      On obtient alors comme paramètres de dispersion.
   3. Représentant tout cela sur un histogramme, on obtient la figure 2.

   [seq(Weight(k-1/2..k+1/2, phi(k)), k=0..n)] :  plc:= stats[statplots, histogram](%) : display(pla,plb, plc) ; 

   Figure: Histogramme de la loi normale associée.

   

6. Comment comparer les valeurs de et ? Par un test de . On constate que les deux distributions (gaussienne et gaussienne renormalisée) obtiennent le même score.

   sayval(sum((phi(k)-psi(k))2/psi(k), k=0..n)) ; sayval(sum((phi(k)/masse-psi(k))2/psi(k), k=0..n)) ; 

   
   

3 Test d'hypothèses (1)

On a prélevé un premier échantillon de objets. La moyenne de cet échantillon est et son écart-type est . Puis on a prélevé un deuxième échantillon de . La moyenne de cet échantillon est et son écart-type est . Reprenant les données, on obtient :

N:=10000 : n, s:='n', 's' : n[1]:=650 : m[1]:=98 : s[1]:= 13 :  n[2]:=1000-n[1] : m[2]:=103 : s[2]:=14 : [seq([n[j],m[j],s[j]],j=1..2)] : N, Matrix(%) ; 

1. Calculer la moyenne et l'écart-type de l'échantillon constitué de la réunion des deux échantillons précédents.

   n[0]:=n[1]+n[2] ; m[1]*n[1]+m[2]*n[2] : m[0]:= %/n[0]*1. ; s[1]2*n[1]+s[2]2*n[2] : mvar:= %/n[0]*1. :  varm:= (n[1]*(m[1]-m[0])2+n[2]*(m[2]-m[0])2)/n[0] :  s[0]:= sqrt(mvar+varm);

   
   
   
   La variance totale est la somme de la moyenne des variances (ici ) et de la variance des moyennes (ici ).
2. Tester l'hypothèse selon laquelle les deux échantillons initiaux auraient été prélevés au sein d'une même population.

   sayval(s[0]2*(n[0])/(n[0]-1)*(1/n[1]+1/n[2])) ;  rhs(%) : sayval((m[1]-m[2])/sqrt(%)) ; 

   
   
   Sous l'hypothèse donnée, notre meilleure de la variance de la population est . Les variances des moyennes d'échantillon sont alors respectivement et . La variance d'une différence (de variables indépendantes) étant la somme des variances, on arrive à une valeur pour la variable réduite associée, valeurs totalement improbable. L'hypothèse est à rejeter.
3. En supposant que la population est homogène et distribuée normalement, avec un nombre total d'individus égal à , estimer le nombre d'objets (de la population totale) vérifiant .

   t:= 98. : sayval(Norlaw(m[0], s[0], t)) ; p:= rhs(%) :

   
   L'espérance de vaut donc
4. En supposant que la population est constituée de deux populations indépendantes, homogènes et distribuées normalement, avec un nombre total d'individus égal à , estimer le nombre d'objets (de la population totale) vérifiant .

   sayval(Norlaw(m[1], s[1], t)) ; p1:= rhs(%) : sayval(Norlaw(m[2], s[2], t)) ; p2:= rhs(%) : sayval(N*(n[1]/n[0]*p1+n[2]/n[0]*p2)) ; centre:= rhs(%) : 

   
   
   
   En supposant que les tailles des échantillons ont été choisies proportionnellement aux tailles des sous-populations, on a , conduisant maintenant à .
5. Donner, dans les deux cas, un intervalle de confiance à pour le nombre . Comparer les résultats obtenus.

   sayval(N*p-2*sqrt(N*p*(1-p))..N*p+2*sqrt(N*p*(1-p))) ;  

   

   sayval(N*(n[1]/n[0]*p1*(1-p1)+n[2]/n[0]*p2*(1-p2))) ; centre -2*sqrt(rhs(%))..centre +2*sqrt(rhs(%)) ;

   
   

4 Test d'hypothèses (2)

Au sein d'une population distribuée selon une loi normale, on a prélevé l'échantillon suivant

(les données ont été arrondies pour alléger les calculs...)

1. Estimer la moyenne de la population pour les seuils de confiance et (une certaine table a été complétée sur le site web pour contenir les informations nécessaires).

   n:= nops(vals) : mu:= add(k, k=vals)/n*1. : s:= sqrt(add(k2, k=vals)/n*1.-mu2)*n/(n-1) :  'n'=n, 'mu'=mu, 's'=s; 

   
   On commence par calculer la moyenne de l'échantillon, ainsi que le prédicteur de variance . Puis on utilise les tables de Student-Fischer pour obtenir les coefficients et permettant de faire le calcul. On aboutit aux intervalles et . Pour tenir compte du nombre exact de degrés de liberté, il faudrait recourir à la fonction de Student-Fischer par :

   tau:=.999 : mu + stats[statevalf, icdf, studentst[n-1]]((1+tau)/2)*s ; 

2. Estimer la taille de l'échantillon nécessaire pour obtenir un intervalle de largeur autour de (toujours pour les seuils et ).

   3=4*sigma, sigma='s'/sqrt(N) : %, solve({%}) ; 

   

   3=6.6*sigma, sigma='s'/sqrt(N): %, solve({%}) ; 

   
   On commence par l'approximation normale ( dépend de la taille, tandis que n'en dépend pas). Le rayon de l'intervalle à 95% étant , sa largeur est de et on trouve . Pour une fiabilité à 99.9%, la largeur de l'intervalle (en ) est , conduisant à Pour ces dimensions, la correction de Fischer est inutile. On peut le vérifier en posant les calculs "exacts", qui consuisent à .

   stats[statevalf, icdf, studentst[285]]((1+.999)/2) : 3=2*%*sigma, sigma='s'/sqrt(N) : %,  solve({%}) ;