Ensait - A2 - Plans d'expérience

Date: Évaluation du 07/09/2004 - durée 2h00

Durée : 2 heures. Tous documents autorisés.
L'usage d'un ordinateur (et des programmes indiqués en cours) est recommandé.
Le listing des calculs fait sur ordinateur sera joint (deux pages par feuille, folioté).
Le commentaire écrit fera des références précises à cette feuille de calcul.

1 Calculs élémentaires

1. est une v.a. . Que valent , et ?
   Calculez .
2. Si les âges d'un groupe de personnes sont distribués suivant la loi , quel est le pourcentage des membres de ce groupe ayant : (a) moins de 23 ans ; ( b) au moins 26 ans ; (c) entre 21 et 25 ans ?
3. On sait que la variable suit une loi normale et que et . Déterminer et .

2 Loi binomiale et loi normale

On considère une variable distribuée selon la loi binomiale avec pour paramètres et .

1. Donner la formule de .
2. Donner les valeurs à trois décimales de pour . On détaillera les calculs pour . Par la suite, on pourra négliger les valeurs inférieures à .
   
   
3. Rappeler les formules de calcul de l'espérance et de la variance d'une variable aléatoire discrète.
4. Utiliser les formules de Q3 et les valeurs de Q2 pour calculer des valeurs approchées et . Comparer avec les valeurs exactes (rappeler les formules valables pour une variable suivant la loi binomiale). Un histogramme est demandé.
5. Quelles sont les valeurs des paramètres de la variable normale présentant la meilleure ressemblance avec la variable binomiale étudiée ci-dessus ? Donner les valeurs à trois décimales de pour cette variable normale. Histogramme.
6. Comment comparer les valeurs de et ?

.../...

3 Test d'hypothèses (1)

On a prélevé un premier échantillon de objets. La moyenne de cet échantillon est et son écart-type est . Puis on a prélevé un deuxième échantillon de . La moyenne de cet échantillon est et son écart-type est .

1. Calculer la moyenne et l'écart-type de l'échantillon constitué de la réunion des deux échantillons précédents.
2. Tester l'hypothèse selon laquelle les deux échantillons initiaux auraient été prélevés au sein d'une même population.
3. En supposant que la population est homogène et distribuée normalement, avec un nombre total d'individus égal à , estimer le nombre d'objets (de la population totale) vérifiant .
4. En supposant que la population est constituée de deux populations indépendantes, homogènes et distribuées normalement, avec un nombre total d'individus égal à , estimer le nombre d'objets (de la population totale) vérifiant .
5. Donner, dans les deux cas, un intervalle de confiance à pour le nombre . Comparer les résultats obtenus.

4 Test d'hypothèses (2)

Au sein d'une population distribuée selon une loi normale, on a prélevé l'échantillon suivant

(les données ont été arrondies pour alléger les calculs...),

1. Estimer la moyenne de la population pour les seuils de confiance et (une certaine table a été complétée sur le site web pour contenir les informations nécessaires).
2. Estimer la taille de l'échantillon nécessaire pour obtenir un intervalle de largeur autour de (toujours pour les seuils et ).