C. Deux lois utiles pour les processus d'attente

C.1 Loi de Poisson

Definition C.1.1   Loi de Poisson. $X=Poiss\left(m\right)$ est $Pr\left(K=k\right)$ proportionnel à $\frac{m^{k}}{k!}$.

Proposition C.1.2   Formules :

$$Pr\left(K=k\right)=\frac{m^{k}}{k!}\exp\left(-m\right)\;;\;\mathrm{E}\left(K\right)=m\;;\;\mathrm{var}\left(K\right)=m$$

Exercise C.1.3   Tester numériquement ces formules pour $m=2$. Les démonter dans le cas général. Calculer les moments et les moments centrés correspondants.

Proposition C.1.4   Si l'on a $n\, p=m$ constant et $n\rightarrow\infty$ dans la loi binomiale, la limite est la loi de Poisson.

Proposition C.1.5   Règle pratique : on approxime $Bin\left(n,\, p\right)$ par $Poiss\left(n\, p\right)$ lorsque $n\geq30$ et $p\leq0.1$.

FIG. C.1: Loi de Poisson $m=1$ et $m=5$.

Exercise C.1.6   Quelle est la loi de la somme de deux variables de Poisson indépendantes ?

C.2 Loi exponentielle

Definition C.2.1   Loi exponentielle : $Pr\left(x\leq X\leq x+\, \mathrm{d}x\right)\propto\exp\left(-\lambda x\right)\, \mathrm{d}x$.

Proposition C.2.2   Formules

$$f\left(x\right)=\lambda\exp\left(-\lambda x\right)\:;\:\mathrm{E}... ...X\right)=\frac{1}{\lambda}\:;\:\mathrm{var}\left(X\right)=\frac{1}{\lambda^{2}}$$

Exercise C.2.3   Retrouver les résultats énoncés Proposition C.2.2.

Exercise C.2.4   Déterminer les quartiles d'une loi exponentielle, c'est à dire les valeurs correspondant à $F\left(x\right)=0.25,\,0.5,\,0.75$.

C.3 Inter-arrivées exponentielles

Exercise C.3.1   Des clients arrivent un par un dans une file d'attente. On appelle $A\left(n\right)$ le temps qui sépare les arrivées des clients $n$ et $n+1$. On suppose que les $A\left(n\right)$ sont des variables indépendantes, toutes distribuées selon la même loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Montrer que la loi du nombre $K$ de clients arrivant par unité de temps est une loi de Poisson. En quoi le produit $\mathrm{E}\left(A\right)\times\mathrm{E}\left(K\right)$ est-il remarquable ?

Exercise C.3.2   Les autobus en bas de chez vous passent de façon aléatoire, les temps de passage entre deux bus étant des variables de Poisson i.i.d. (indépendantes et identiquement distribuées) de paramètre $\lambda$. Vous descendez de façon aléatoire, avec une probabilité uniforme. Quelle est la distribution de votre temps d'attente ? Calculer en particulier la valeur moyenne de l'attente.