E. La loi lognormale

Definition E.0.1   On appelle lognormale une variable positive dont le logarithme suit une loi normale. Nous définissons les paramètres $M, k$ de cette loi par par $\ln M\doteq\mathrm{E}\left(\ln x\right)$ et $\ln k\doteq\mathrm{var}\left(\ln x\right)$. La FIG. E.1  donne les densités de la variable $x$ de paramètres $M=1000, k=\sqrt{2}$ et de la variable "en poids" associée. Les graduations horizontales correspondent à une graduation en écart-types de la variable $\ln x$.

FIG.: Loi lognormale avec $M=1000, k=\sqrt{2}$.

Proposition E.0.2   Lorsque la variable "en nombre" est lognormale avec les paramètres $M, k$, la variable "en poids" est lognormale avec les paramètres $k M, k$.

Preuve. Si $z$ est une variable de Gauss, la variable $Z$ obtenue par la pondération $\exp z$ est une variable normale ayant la même loi que $z+1$. $\qedsymbol$

Proposition E.0.3   La densité d'une variable lognormale peut s'écrire :

$$\frac{1}{x \sqrt{2 \pi \ln\left(k\right)}} \exp\left(\!-\frac{1}{2} \frac{\ln^{2}\left(x/M\right)}{\ln\left(k\right)}\!\right)$$

tandis que sa fonction de répartition est $Norlaw\left(\ln M, \sqrt{\ln k}, \ln x\right)$. En désignant par $X$ la variable "observable" associée, on a les résultats suivants :

$$\begin{array}{ccccccccc} \mathbf{z} & & \mathrm{E}\left(z\ri... ... & M & M k & & M^{2} k^{3}\left(k-1\right) & k-1\end{array}$$

Preuve. La densité s'obtient par $f\left(x\right) \mathrm{d}x=\mathrm{norlaw}\left(\ln x\right) \mathrm{d}\!\left(\ln x\right)$. Un peu de calcul (changement de variable, etc.) conduit à $\mathrm{E}\left(x^{p}\right)=M^{p} k^{p^{2}/2}$. La médiane pour $x$ est l'image de la médiane pour $\ln x$. Le mode s'obtient par dérivation.

Les résultats pour $X$ viennent de Proposition E.0.2. On peut constater que $\mathrm{E}\left(X\right)$ vérifie EQ. 5.1. $\qedsymbol$

Remark E.0.4   Pour la loi lognormale, les variables "en nombre" et "en poids" ont le même coefficient de variation.

Exercise E.0.5   On considère un ensemble de particules en suspension dans un liquide. On suppose que la répartition "en poids" des poids de ces particules suit une loi lognormale de paramètres $M, k$. On suppose en outre que ces particules sont sphériques et ont une densité constante. Que peut-on dire de la répartition "en diamètre" des diamètres de ces particules (passer par l'intermédiaire des répartitions "en nombre").