3. Probabilités

3.1 Probabilités

Definition 3.1.1   Univers $\Omega$ "ensemble des résultats possibles".

Definition 3.1.2   Dans le cas fini, un événement est une partie (quelconque) de $\Omega$. Dans le cas infini, c'est un peu plus compliqué. Dans tous les cas, l'ensemble des événements est clos par complémentarité, intersection et réunion finie.

Definition 3.1.3   Un événement élémentaire est un événement qui s'écrit $\left\{ x\right\}$ avec $x\in\Omega$.

Definition 3.1.4   Evénements incompatibles est $A\cap B=\emptyset$.

Definition 3.1.5   Une probabilité (ou encore : une mesure de probabilité) est une fonction vérifiant :

$$\begin{array}{l} \mathcal{P}\left(\Omega\right)\hookrightarr... ...ft(B\right)\quad\mathrm{lorsque}\: A\cap B=\emptyset\end{array}$$

Dans le cas où $\Omega$ est fini, cela suffit. Sinon, cela est un peu plus compliqué.

Proposition 3.1.6   Si l'on utilise la notation $Pr\left(\omega_{j}\right)\doteq Pr\left(\left\{ \omega_{j}\right\} \right)$, alors

$$A=\left\{ \omega_{1},\,\omega_{2},\,\omega_{3},\,\cdots,\,\omega_... ...ght\} \quad\implies\quad Pr\left(A\right)=\sum_{1}^{n}Pr\left(\omega_{j}\right)$$

Exercise 3.1.7   Montrer que cette formule ne peut absolument pas s'appliquer au cas infini.

Proposition 3.1.8   $Pr\left(A\cup B\right)=Pr\left(A\right)+Pr\left(B\right)-Pr\left(A\cap B\right)$.
En particulier, $Pr\left(\complement A\right)=1-Pr\left(A\right)$.

Proposition 3.1.9   Dans le cas d'un univers fini de résultats équiprobables, $Pr\left(A\right)=\frac{\char93 \, A}{\char93 \,\Omega}$.

Exercise 3.1.10   Vous faites partie d'un groupe de $12$ personnes. Un sous-groupe de quatre personnes est choisi de façon équiprobable. Calculer, de plusieurs façons, la probabilité pour que vous soyez membre du sous-groupe choisi.

Exercise 3.1.11   Le problème du chevalier de Méré. Déterminer quel est l'événement le plus probable : obtenir au moins un as en lançant 4 fois un dé, ou bien obtenir au moins un double as en lançant 24 fois deux dés ?

3.2 Probabilités conditionnelles

Definition 3.2.1   Probabilité de $A$ quand $E$ a eu lieu. Lorsque $Pr\left(E\right)\neq0$, on pose :

$$Pr\left(A\mid E\right)\doteq\frac{Pr\left(A\cap E\right)}{Pr\left(E\right)}$$

Exercise 3.2.2   Vérifier que $Pr\left(.\mid E\right)$ est une probabilité sur $\Omega$.

Definition 3.2.3   Deux événements $A,\, B$ sont (complètement) indépendants veut dire

$$Pr\left(A\mid B\right)=Pr\left(A\rig... ...re}\,\mathrm{:}\,Pr\left(A\cap B\right)=Pr\left(A\right)\times Pr\left(B\right)$$

Exercise 3.2.4   On lance un dé : $\Omega=\left\{ 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\right\}$. On appelle "pair" l'événement $A=\left\{ 2,\,4,\,6\right\}$ et "passe" l'événement $\left\{ 4,\,5,\,6\right\}$. Quelle est la probabilité (ordinaire) de "passe", sa probabilité sachant que pair a eu lieu, sa probabilité sachant que pair n'a pas eu lieu.

Definition 3.2.5   On appelle partition de $\Omega$ une famille $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ de parties de $\Omega$ telle que :

$$\forall i\,:\, A_{i}\neq\emptyset\:;\: A_{i}\cap A_{j}\neq\emptyset\,\Rightarrow i\neq j\:;\:\cup A_{i}=\Omega$$

En probabilités, on est plutôt intéressé par une "bonne partition", vérifiant la condition plus restrictive :

$$\forall i\,:\,Pr\left(A_{i}\right)\neq0$$

Proposition 3.2.6   Formule des "probabilités totales" : si $\left(A_{i}\right)_{1\leq i\leq n}$ est une bonne partition de $\Omega$ alors

$$Pr\left(B\right)=\sum_{1}^{n}Pr\left(B\mid A_{i}\right)Pr\left(A_{i}\right)$$

Exercise 3.2.7   Démontrer cette formule des probabilités totales.

Proposition 3.2.8 (Bayes)   Lorsque $Pr\left(A\right)\neq0$ et $Pr\left(B\right)\neq0$, on a la formule :

$$Pr\left(B\mid A\right)=Pr\left(A\mid B\right)\frac{Pr\left(B\right)}{Pr\left(A\right)}$$

Example 3.2.9   On lance deux dés et l'on cherche la probabilité de faire au moins un as. Comparons plusieurs méthodes.

1. Utilisation du complémentaire. Soit $\Omega=\left\{ 11,\,01,\,10,\,00\right\}$ en appelant (par exemple) $01$ l'événement "pas d'as la première fois, un as la deuxième fois". Alors l'événement favorable est $\alpha=\left\{ 11,\,01,\,10\right\}$. Son complémentaire est $\complement\alpha=\left\{ 00\right\}$ . Par indépendance des deux lancers, la probabilité de $\complement\alpha$ est le produit de $Pr\left(x_{1}\neq1\right)$ par $Pr\left(x_{2}\neq1\right)$. Soit
   $$Pr\left(\alpha\right)=1-\left(\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\right)=\frac{11}{36}$$

2. Disjonction des cas. Par la méthode précédente, on détermine les probabilités de chacun des événements élémentaires (deux à deux incompatibles) composant $\alpha$ et on les additionne. On obtient :
   $$Pr\left(\alpha\right)=\left(\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{5}{6}\times\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{6}\times\frac{5}{6}\right)$$

3. Probabilités totales. Soient $B_{1}$ et $B_{2}$ les événements : l'as est sorti (resp. n'est pas sorti) au premier lancer. Ces événements forment une partition de $\Omega$, ce que l'on peut finir de rendre évident en les écrivant sous la forme $B_{1}=\left\{ 10,\,11\right\}$ et $B_{2}=\left\{ 00,\,01\right\}$. On a alors $Pr\left(\alpha\mid B_{1}\right)=1$ et $Pr\left(\alpha\mid B_{2}\right)=1/6$. Et donc
   $$Pr\left(\alpha\right)=Pr\left(\alpha\mid B_{1}\right)\,Pr\left(B_... ...left(B_{2}\right)=1\times\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times\frac{5}{6}=\frac{11}{36}$$

4. Formule de la réunion. Soit $C_{1}$ l'événement : l'as est sorti au deuxième lancer. On a $\alpha=B_{1}\cup C_{1}$. En additionnant les probabilités, on compterait deux fois l'événement "l'as est sorti à chaque fois". Et donc
   $$Pr\left(\alpha\right)=Pr\left(B_{1}\right)+Pr\left(C_{1}\right)-Pr\left(B_{1}\cap C_{1}\right)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{36}=\frac{11}{36}$$

Exercise 3.2.10   Une urne contient trois boules blanches et deux noires, et on tire successivement deux boules. $A$ est "tirer deux boules de même couleur", $B_{1}$ est "la première boule est blanche", $B_{2}$ est "la première boule est noire". On a $Pr\left(A\right)=Pr\left(A\mid B_{1}\right)Pr\left(B_{1}\right)+Pr\left(A\mid ... ...)Pr\left(B_{2}\right)=\frac{2}{4}\frac{3}{5}+\frac{1}{4}\frac{2}{5}=\frac{2}{5}$. Et de plus $Pr\left(B_{1}\mid A\right)=\frac{1}{2}\frac{3/5}{2/5}=\frac{3}{4}$.

Exercise 3.2.11   Vous faites partie d'un groupe de $12$ personnes. Un sous-groupe de quatre personnes est choisi de façon équiprobable. Utiliser les probabilités conditionnelles pour retrouver la probabilité pour que vous soyez membre du sous-groupe choisi.

Exercise 3.2.12   Peut-on déterminer $Pr\left(A\right)$ et $Pr\left(B\right)$ sachant que $Pr\left(A\cup B\right)=0.7$ et que $Pr\left(A\cap B\right)=0.1$ ? Et si l'on rajoute l'hypothèse d'indépendance (complète) entre les deux événements ?

Exercise 3.2.13   On examine des pièces de tissu. Lorsque la pièce est conforme au cahier des charges, sa probabilité d'acceptation est de $95\%$. Lorsque la pièce est défectueuse, sa probabilité de rejet est de $98\%$. Soit $p$ la proportion de pièces défectueuses par rapport au total. Déterminer la proportion $q$ de pièces effectivement défectueuses parmi les pièces mises au rebut. Quelle est les valeurs de $p$ correspondant à $q\geq80\%$ ?

Exercise 3.2.14   Bénéfice escompté.

3.3 Variables aléatoires

Definition 3.3.1   Une variable discrète est $\left(\mathbb{Z},\,Pr\left(.\right)\right)$, une variable continue est $\left(\mathbb{R},\,Pr\left(.\right)\right)$. Le cas fini se traite par plongement dans $\mathbb{Z}$ et les "ensembles non-tordus" par plongement dans $\mathbb{R}$.

Definition 3.3.2   Fonction de répartition $F\left(x\right)=Pr\left(\left]-\infty,\, x\right[\right)=Pr\left(X<x\right)$.

Proposition 3.3.3   Une fonction de répartition $F$ est croissante, continue à gauche et vérifie

$$F\left(-\infty\right)=0\:;\: F\left(+\infty\right)=1\:;\:Pr\left(a\leq X<b\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right)$$

Exercise 3.3.4   Vérifier que $Pr\left(a\leq X\leq b\right)=\inf\left\{ F\left(x\right)\mid x>b\right\} -F\left(a\right)$.

Proposition 3.3.5   La fonction de répartition est continue en $x=a$ si et seulement si $Pr\left(X=a\right)=0$.

Definition 3.3.6   Densité. Si $f\,:\,\mathbb{R}\hookrightarrow\mathbb{R}$ est continue par morceaux, positive et vérifie $\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(t\right)\, \mathrm{d}t=1$, alors $Pr\left(A\right)=\int_{A}f\left(t\right)\, \mathrm{d}t$ définit une v.a. continue. On dit alors que $f$ est la densité de probabilité de cette variable.

Definition 3.3.7   Espérance. Pour une variable discrète $X$, on définit

$$\mathrm{E}\left(X\right)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}k\,Pr\left(X=k\right)$$

Proposition 3.3.8   Dans le cas d'un jeu de hasard, l'espérance de gain permet de déterminer la "mise équitable", c'est à dire la mise qui, sur le long terme, n'avantage ni le parieur ni celui qui prend les paris.

Exercise 3.3.9   On lance une pièce une fois. Si pile apparait, on gagne 2. Quelle est la mise équitable ?

Exercise 3.3.10   On lance une pièce trois fois. Si la première apparition de pile se produit au troisième lancer, on gagne 8. Quelle est la mise équitable ?

Exercise 3.3.11   On lance une pièce jusqu'à ce que pile apparaisse. Si le nombre de lancers a été $n$, on gagne $2^{n}$. Quelle est la mise équitable ?

Definition 3.3.12   Variance. On définit $\mathrm{var}\left(X\right)\doteq\mathrm{E}\left((X-\mathrm{E}\left(X\right))^{2}\right)$, et on obtient la formule $\mathrm{var}\left(X\right)=\mathrm{E}\left(X^{2}\right)-\left(\mathrm{E}\left(X\right)\right)^{2}$.

3.4 Dans le cas des variables discrètes infinies

La convergence des deux quantités $\mathrm{E}\left(X\right)=\sum_{n\in\mathbb{N}}x_{n}\, p_{n}$ et $\mathrm{E}\left(X^{2}\right)=\sum_{n\in\mathbb{N}}x_{n}^{2}\, p_{n}$ ne sont plus automatiques : il faut donc commencer par vérifier que ces sommes sont bien définies.