5. Variables à densité

5.1 Principes généraux

Moyennant diverses précautions oratoires, on a :

Definition 5.1.1   Si $f\,:\,\mathbb{R}\hookrightarrow\mathbb{R}$ est continue par morceaux, positive et vérifie $\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(t\right)\, \mathrm{d}t=1$, alors $Pr\left(A\right)=\int_{A}f\left(t\right)\, \mathrm{d}t$ définit une v.a. continue. La fonction $f$ est la densité de probabilité de cette variable.

Notation 5.1.2   $df$ = density function. Ne pas confondre avec $\mathrm{d}f$....

Remark 5.1.3   Caveat : la quantité $f\left(x\right)$ n'est pas la probabilité de $X=x$. En effet, cette probabilité est nulle (c'est précisément la condition pour qu'il y ait une densité de probabilité).

Proposition 5.1.4   Propriété des aires. Le graphe de $f\left(x\right)$ généralise la notion d'histogramme. Dans les deux cas, les probabilités sont représentées par des surfaces. En particulier

$$Pr\left(X\in\left[x,\, x+dx\right]\right)=f\left(x\right)\, dx$$

Definition 5.1.5   Pour une variable à densité $X$, on définit

$$\mathrm{E}\left(X\right)\doteq\int_{-\infty}^{+\infty}t\, f\left(t\right)\, \mathrm{d}t$$

$$\mathrm{var}\left(X\right)\doteq\int_{-\infty}^{+\infty}\left(t-\... ...thrm{d}t=\mathrm{E}\left(X^{2}\right)-\left(\mathrm{E}\left(X\right)\right)^{2}$$

Proposition 5.1.6   Comme pour les variables discrètes, on a :

$$\mathrm{E}\left(a\, X+b\right)=a\,\mathrm{E}\left(X\right)+b$$

$$\mathrm{var}\left(a\, X+b\right)=a^{2}\,\mathrm{var}\left(X\right)$$

5.2 Loi uniforme

Definition 5.2.1   Loi uniforme sur $\left[a,\, b\right]$ : $f\left(x\right)=\frac{1}{b-a}$ si $a\leq x\leq b$ et $f\left(x\right)=0$ sinon.

Proposition 5.2.2   Formules

$$\mathrm{E}\left(X\right)=\frac{1}{2}\left(a+b\right)\;;\;\mathrm{var}\left(X\right)=\frac{1}{12}\left(b-a\right)^{2}$$

Exercise 5.2.3   Soient $X$ et $Y$ deux variables uniformément distribuées sur $\left[1,\,3\right]$ et sur $\left[2,\,5\right]$. Quelle est la loi de $Z\doteq X+Y$ ?

Exercise 5.2.4 (pour l'exercice suivant)   On regroupe plusieurs populations finies $\Omega_{j}$, ayant des effectifs différents $n_{j}$. Rappeler comment obtenir la moyenne et la variance de la population totale à partir des paramètres des $\Omega_{j}$.

Exercise 5.2.5   On considère une variable à densité $X$ prenant ses valeurs dans l'intervalle $\left[a,\, b\right]$. Pour un $n$ entier donné, on pose $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ et, pour $0\leq k\leq n$, $x_{k}=a+k\,\Delta x$ ainsi que, pour $1\leq k\leq n$, $y_{k}=\frac{1}{2}\left(x_{k-1}+x_{k}\right)$. On définit une variable aléatoire discrète $Y$ en posant $Pr\left(y_{k}\right)=Pr\left(X<x_{k}\right)-Pr\left(X<x_{k-1}\right)$. Montrer que l'on a $\mathrm{E}\left(X\right)\simeq\mathrm{E}\left(Y\right)$ et $\mathrm{var}\left(X\right)\simeq\mathrm{var}\left(Y\right)+\alpha\,\Delta x^{2}$ avec $\alpha$ constante à déterminer.

Exercise 5.2.6   On considère deux variables aléatoires indépendantes $X$ et $Y$, toutes deux distribuées selon la même loi uniforme sur $\left[0,\,1\right]$. Déterminer la loi de la variable $Z=X+Y$.

5.3 Variables positives

Definition 5.3.1   Le coefficient de variation d'une variable positive $x$ est défini par :

$$V_{c}\doteq\frac{\sigma}{\mu}=\frac{\sqrt{\mathrm{var}\left(x\right)}}{\mathrm{E}\left(x\right)}$$

Remark   Il est clair que la notion même de coefficient de variation devient absurde si l'on ne suppose pas que la variable est positive. Lorsque cette qantité est bien définie, elle possède l'avantage d'être sans dimension, et de permettre une comparaison standardisée entre deux variables.

Definition 5.3.2   On appelle variable observable $X$ associée à une variable positive $x$ la nouvelle variable obtenue en séléctionnant les individus proportionnellement à la valeur de $x$. Les paramètres associés à la variable $x$ sont appelés paramètres "en nombre" (ou individuels) et ceux associés à la variable $X$ paramètres "en poids".

Remark   Considérons une population $\Omega$ dont les individus $i$ présentent un caractère positif désigné par $\xi\left(i\right)$. La fonction $\xi$ est donc une application $\Omega\hookrightarrow\mathbb{R}^{+}$. Lorsque l'on cherche à déterminer la loi du caractère $\xi$, il y a deux façons de sélectionner les individus composant l'échantillon d'étude. On peut en effet utiliser comme référence une loi uniforme sur les individus ou bien une loi uniforme sur les valeurs. Le premier choix conduit à la variable $x$, le deuxième à la variable $X$.

Exercise 5.3.3   On considère un processus d'attente, par exemple l'attente à un passage à niveau. Le temps d'attente moyen lorsque l'on voit se baisser la barrière n'est pas le même que le temps d'attente moyen lorsque la barrière est déjà baissée lorsque l'on arrive. Calculer ces deux moyennes lorsque la loi "en nombre" est déterministe, uniforme sur un intervalle, binomiale, exponentielle.

Exercise 5.3.4   On se demande quel est le volume moyen d'une particule dans un mélange de particules. Décrire des protocoles expérimentaux associés aux variables $x$ et $X$. De même pour la masse moyenne des molécules d'un polymère.

Proposition 5.3.5   Lorsque les chances de la variable $x$ sont données par $f\left(x\right)$, les chances de $X$ sont données par $x\, f\left(x\right)$. Lorsque $f$ est la densité de probabilité de $x$, la densité de probabilité de $X$ est $\frac{x}{\mathrm{E}\left(x\right)}\, f\left(x\right)$ et l'on a :

$$\mathrm{E}\left(X\right)=\frac{\mathrm{E}\left(x^{2}\right)}{\mathrm{E}\left(x\right)}=\mathrm{E}\left(x\right)\times\left(1+V_{c}^{2}\right)$$ (5.1)

Exercise 5.3.6   Les polyméristes ont l'habitude de considérer le rapport $\mathrm{E}\left(X\right)/\mathrm{E}\left(x\right)$ (indice de polydispersité). Lorsque cet indice vaut 2, quelle est la valeur de $\sigma$ ?

5.4 Formules de convolutions

Theorem 5.4.1   Soient $t,\, z$ deux variables indépendantes et $\phi$ une transformation telle que les variables $x=\phi\left(t,\, z\right),$ $y=z$ soient indépendantes et admettent $f$ et g comme pdf sur $\mathbb{R}$. Alors la densité de probabilité de t est :

$$\mathrm{pdf}\left(t\right)=\int_{z\in\mathbb{R}}f\left(\phi\left(... ...left\vert\phi_{t}'\left(t,\, z\right)\right\vert\, g\left(z\right)\,\mathrm{d}z$$

Preuve. On passe aux cdf et on applique Fubini :

$$\iint_{\left\{ \left(x,\, y\right)\mid t<T\right\} }f\left(x\righ... ...left(t,\, z\right)\right)\, g\left(z\right)\times Jac\,\mathtt{d}z\,\mathtt{d}t$$

$\qedsymbol$

Proposition 5.4.2   La loi de la somme de deux variables indépendantes est donnée par l'opérateur de convolution :

$$\left(f\star g\right)\left(t\right)=\int_{\mathbb{R}}f\left(t-z\right)\, g\left(z\right)\,\mathrm{d}z$$

Exercise 5.4.3   Déterminer la loi de la somme de $x$ uniforme sur $\left[1,\,4\right]$ et de $y$ uniforme sur $\left[1,\,5\right]$.

Proposition 5.4.4   Si $f$ et $g$ sont les lois des variables indépendantes $x$ et $y$, la loi du quotient $t=x/y$ est :

$$\int_{\mathbb{R}}z\, f\left(t\, z\right)\, g\left(z\right)\,\mathrm{d}z$$

5.5 Loi gamma

Proposition 5.5.1   Pour $n$ entier positif, on a :

$$\int_{0}^{\infty}x^{n}\exp\left(-x\right)\,\mathrm{d}x=n!$$

Definition 5.5.2   La fonction Gamma d'Euler est définie par

$$\Gamma\left(s\right)=\int_{0}^{\infty}x^{s-1}\exp\left(-x\right)\,\mathrm{d}x$$

Definition 5.5.3   Une variable aléatoire de loi Gamma réduite et de paramètre $a$ se définit par :

$$\mathrm{pdf}\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma\left(a\right)}\, x^{a-1}\exp\left(-x\right)$$

Proposition 5.5.4   Les paramètres de dispersion d'une variable gamma réduite sont égaux au paramètre de la loi : $\mathrm{E}\left(x\right)=a$, $\mathrm{var}\left(x\right)=a$.

Proposition 5.5.5   La somme de deux variables gamma réduites indépendantes, ayant pour paramètres $a_{1}$ et $a_{2}$ est une variable gamma, de paramètre $a_{1}+a_{2}$.

Preuve. Comme ces variables sont positives, la formule de convolution donne (en posant $z=t\, u$) ;

$$\mathrm{pdf}\left(t\right) =Cte\times\int_{z=0}^{z=t}\left(t-z\right)^{a-1}\exp\left(-t+z\right)\, z^{b-1}\exp\left(-z\right)\,\mathrm{d}z$$

$$=\exp\left(-t\right)\, t^{a-1+b-1+1}\times\left(Cte\,\int_{0}^{1}\left(1-u\right)^{a-1}u^{b-1}\,\mathrm{d}u\right)$$

et la conclusion suit. Au passage, on obtient la valeur de $\int_{0}^{1}\left(1-u\right)^{a-1}u^{b-1}\,\mathrm{d}u$. $\qedsymbol$

Definition 5.5.6   On appelle variable gamma de paramètres $a$ et $b$ une variable $x$ telle que $x/b$ suit une loi gamma réduite de paramètre $a$.