6. Les lois limites de la loi binomiale

6.1 Les deux types de clientelle

Il y a deux façons essentiellement différentes de passer à la limite dans la loi binomiale. Illustrons cela par l'exemple d'une clientelle, comme celle d'une marina. Les clients peuvent se décomposer en deux classes : les clients réguliers et les clients de passage.

Les "clients de passage" sont des clients qui, individuellement, n'avaient guère de raison de passer par là (plutôt que de passer ailleurs) : leur probabilité individuelle de présence est très faible. Mais, ayant un bateau, il faut bien qu'ils bougent de temps en temps. Comme le nombre total de plaisanciers est très grand, le nombre $k$ des clients qui sont "de passage", ici et maintenant, oscille autour de la valeur $N\, p$, qui prend une valeur finie non nulle.

Les "clients réguliers", au contraire, ont à la fois une probabilité non négligeable d'être présents (c'est leur port d'attache) et une probabilité non négligeable d'être partis (une des raisons d'avoir un bateau étant de naviguer). Faire tendre $n$ vers l'infini dans ces conditions revient à faire tendre $\sigma^{2}=n\, p\, q$ vers l'infini. On a alors $k\rightarrow\infty$. En pareil cas, ce n'est plus la loi de $k$ qui est intéressante, mais la loi de la variable réduite : $z=\left(k-n\, p\right)/\sigma$.

6.2 La loi de Poisson, loi limite pour $n\, p\rightarrow\lambda\;;\; n\rightarrow\infty$

Proposition 6.2.1   La limite de la loi binomiale pour $n\rightarrow\infty\quad;\quad n\, p\rightarrow\lambda$ est la loi de Poisson :

$$Pr\left(K=k\right)=\frac{\lambda^{k}}{k!}\,\exp\left(-\lambda\right)$$

Preuve. Supposons donc que $n\rightarrow\infty\quad;\quad n\, p\rightarrow\lambda$ (clientelle de passage). On a :

$$Pr\left(K=k\right) = \frac{n!}{k!\,\left(n-k\right)!}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k}$$

$$= \frac{1}{k!}\,\times\,\frac{\left(n\right)\left(n-1\right)\cdots\... ...\cdots\left(n\right)}\left(n\, p\right)^{k}\left(1-\frac{n\, p}{n}\right)^{n-k}$$

Pour $k$ fixé et $n\rightarrow\infty$, la fraction tend vers $1$. Pour $n\, p\rightarrow\lambda$, le troisième facteur tend vers $\lambda^{k}$. Enfin, le dernier facteur tend vers $\exp\left(-\lambda\right)$. $\qedsymbol$

Exercise 6.2.2   Vérifier $\Sigma Pr\left(k\right)=1$, $\mathrm{E}\left(K\right)=\lim\left(n\, p\right)=\lambda$ et $\mathrm{var}\left(K\right)=\lim\left(n\, p\, q\right)=\lambda$.

6.3 La loi de Gauss, loi binomiale limite pour $\sigma \rightarrow \infty$

Remark 6.3.1   Lorsque l'on trace les histogrammes de la variable réduite pour diverses lois binomiales, on constate que les graphes obtenus présentent la même allure de "courbe en cloche" lorsque le produit $\sigma^{2}=n\, p\,\left(1-p\right)$ est assez grand.

FIG. 6.1: Un exemple avec $p$ petit.

${{20 \choose k}}\,.1^{k}\,.9^{\left(20-k\right)}$

FIG. 6.2: Sans changer $p$, mais avec $n$ plus grand.

${{80 \choose k}}\,.1^{k}\,.9^{\left(80-k\right)}$

FIG. 6.3: Convergence plus rapide lorsque $p=0.5$.

${{10 \choose k}}\,.5^{k}\,.5^{\left(10-k\right)}$

Remark 6.3.2   Pour $\sigma$ fixé, le passage à la limite est d'autant meilleur que $p$ est proche de $0.5$ (symétrie préalable).

Proposition 6.3.3   Règle des sigmas :

$$\begin{array}{ccl} Pr\left(X\in\left[\mu\pm\sigma\right]\rig... ...ft(X\in\left[\mu\pm3\sigma\right]\right) & = & 0.997\end{array}$$

Les TAB. 6.1 et TAB. 6.2 donnent les fréquences cumulatives de la loi de Gauss (loi normale réduite).

TAB. 6.1: Loi normale (cumulative) : table courte

TAB. 6.2: Loi normale (cumulative) : table longue

6.4 Propriétés élémentaires

Theorem 6.4.1   La loi normale réduite (ou loi de Gauss) est caractérisée par la densité :

$$f\left(z\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}z^{2}\right)$$

Preuve. La preuve de ce théorème se trouve Section A.3. $\qedsymbol$

Remark 6.4.2   Il est indispensable de repérer comment obtenir à la calculette les valeurs de $f\left(z\right)$ et de la fonction de répartition $F\left(z\right)=\int_{-\infty}^{z}f\left(t\right)\, \mathrm{d}t$ .

Exercise 6.4.3   Déterminer $Pr\left(X<0\right)$, $Pr\left(2<X<3\right)$ et $Pr\left(\left\vert X\right\vert<2\right)$.

Exercise 6.4.4   Déterminer $x$ tel que $Pr\left(X<x\right)=0.9625$, puis $Pr\left(-x<X<x\right)=0.9625$, puis $Pr\left(0<X<x\right)=0.35$, et enfin $Pr\left(-2<X<x\right)=0.50$.

Remark 6.4.5   Par construction l'espérance de $z$ est nulle, et sa variance vaut $1$.

Definition 6.4.6   La loi normale générale $Norm\left(\mu,\,\sigma\right)$ est définie par la densité $f\left(x\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}\right)$.
On a donc $\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(t\right)\, \mathrm{d}t=1$, $\mathrm{E}\left(X\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}t\, f\left(t\right)\, \mathrm{d}t=\mu$ et $\mathrm{var}\left(X\right)=\sigma^{2}$.

Remark 6.4.7   La loi normale réduite est donc $Norm\left(0,\,1\right)$.

Exercise 6.4.8   Si les âges d'un groupe de personnes sont distribués suivant la loi normale $Norm\left(41,\,8\right)$, quel est le pourcentage des membres de ce groupe ayant : (a) moins de 53 ans ; (b) au moins 35 ans ; (b) entre 25 et 49 ans ?

Exercise 6.4.9   On sait que la variable $X$ suit une loi normale et que $Pr\left(X<8\right)=0.35$ et $Pr\left(15<X\right)=0.16$. Déterminer $\mu$ et $\sigma$.

Exercise 6.4.10   Les âges d'un groupe d'étudiants sont répartis suivant la loi $Norm\left(22,\,2\right)$. Quel est l'âge moyen du tiers le plus jeune ?

Proposition 6.4.11   En pratique, on approxime $Bin\left(n,\, p\right)$ par $Norm\left(n\, p,\,\sqrt{n\, p\, q}\right)$ lorsque $n\, p\, q>9$.

Proposition 6.4.12   Si $X$ est une variable normale, $Y=a\, X+b$ est aussi une variable normale. On a donc $a\, X+b=Norm\left(a\,\mu+b,\,\left\vert a\right\vert\sigma\right)$.

Proposition 6.4.13   Une somme de variables normales indépendantes est encore une variable normale. On a donc $X_{1}+X_{2}=Norm\left(\mu_{1}+\mu_{2},\,\sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}\right)$.

Preuve. Avec les notations ci-dessus, la densité de probabilité de $T=X_{1}+X_{2}$ vaut :

$$\frac{1}{2\,\pi\,\sigma_{1}\sigma_{2}}\,\int_{z=-\infty}^{z=+\inf... ...2\sigma_{1}}-\frac{\left(z-\mu_{2}\right)^{2}}{2\sigma_{2}}\right)\,\mathrm{d}z$$

L'argument de l'exponentielle se réécrit en "z puis t" :

$$-\frac{\left(t-z-\mu_{1}\right)^{2}}{2\sigma_{1}}-\frac{\left(z-\... ...{2\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right)}\left(t-\mu_{1}-\mu_{2}\right)^{2}$$

où $Z\left(t\right)$ ne dépend pas de $z$. Le deuxième terme donne un facteur exponentiel qui sort de l'intégrale et qui est proportionnel à ce qu'il faut établir. Quant à l'intégrale sur $\left]-\infty,\,+\infty\right[$ de l'exponentielle du premier terme, on voit qu'elle est constante par le changement de variable $\tau=z-Z\left(t\right)$. $\qedsymbol$

Exercise 6.4.14   Le fameux exercice des plaques de chocolat. Une presse façonne des plaques de chocolat dont le poids $X$ suit une loi normale d'espérance $m$ et d'écart-type $\sigma=3$ (grammes). Le réglage de la presse permet de modifier $m$ par pas de $0.1$ grammes sans affecter $\sigma$.
Les services du contrôle économique admettent que $2.5\%$ du nombre des articles de cette nature puissent peser moins que le poids net mentionné sur l'emballage.
(a) Déterminer $m$ pour respecter la tolérance administrative lorsque le poids net marqué est $250$ grammes.
(b) On met en fabrication $100\,000$ plaques de chocolat qui seront vendues par lots de 2 plaques avec pour mention "poids net $500$ grammes". Déterminer $m$ ainsi que l'économie réalisée.

6.5 Théorème central limite

Theorem 6.5.1   Si $X_{1},\,\cdots,\, X_{n}$ sont des variables indépendantes, de moyennes $\mathrm{E}\left(X\right)_{j}$ et de variances $\mathrm{var}\left(X\right)_{j}$, on sait que leur somme $Y_{n}$ a pour moyenne $\mu_{n}\doteq\sum\mathrm{E}\left(X\right)_{j}$ et pour variance $\sigma_{n}^{2}\doteq\sum\mathrm{var}\left(X\right)_{j}$. Si de plus $\sigma_{n}^{2}\rightarrow\infty$ lorsque $n\rightarrow\infty$ alors la variable réduite $Z_{n}=\frac{Y_{n}-\mu_{n}}{\sigma_{n}}$ tend vers la loi normale réduite $Norm\left(1,\,0\right)$.

Remark 6.5.2   Le théorème central limite donne un nouveau point de vue quant à la convergence de la variable réduite d'une loi binomiale vers la loi de Gauss.

6.6 La loi lognormale

Definition 6.6.1   On appelle lognormale une variable positive dont le logarithme suit une loi normale. Nous définissons les paramètres $M,\, k$ de cette loi par par $\ln M\doteq\mathrm{E}\left(\ln x\right)$ et $\ln k\doteq\mathrm{var}\left(\ln x\right)$. La FIG. 6.4  donne les densités de la variable $x$ de paramètres $M=1000,\, k=\sqrt{2}$ et de la variable "en poids" associée. Les graduations horizontales correspondent à une graduation en écart-types de la variable $\ln x$.

FIG.: Loi lognormale avec $M=1000,\, k=\sqrt{2}$.

Proposition 6.6.2   Lorsque la variable "en nombre" est lognormale avec les paramètres $M,\, k$, la variable "en poids" est lognormale avec les paramètres $k\, M,\, k$.

Preuve. Si $z$ est une variable de Gauss, la variable $Z$ obtenue par la pondération $\exp z$ est une variable normale ayant la même loi que $z+1$. $\qedsymbol$

Proposition 6.6.3   La densité d'une variable lognormale peut s'écrire :

$$\frac{1}{x\,\sqrt{2\,\pi\,\ln\left(k\right)}}\,\exp\left(\!-\frac{1}{2}\,\frac{\ln^{2}\left(x/M\right)}{\ln\left(k\right)}\!\right)$$

tandis que sa fonction de répartition est $Norlaw\left(\ln M,\,\sqrt{\ln k},\,\ln x\right)$. En désignant par $X$ la variable "observable" associée, on a les résultats suivants :

$$\begin{array}{ccccccccc} \mathbf{z} & & \mathrm{E}\left(z\ri... ... & M & M\, k & & M^{2}\, k^{3}\left(k-1\right) & k-1\end{array}$$

Preuve. La densité s'obtient par $f\left(x\right)\, \mathrm{d}x=\mathrm{norlaw}\left(\ln x\right)\,\mathrm{d}\!\left(\ln x\right)$. Un peu de calcul (changement de variable, etc.) conduit à $\mathrm{E}\left(x^{p}\right)=M^{p}\, k^{p^{2}/2}$. La médiane pour $x$ est l'image de la médiane pour $\ln x$. Le mode s'obtient par dérivation.

Les résultats pour $X$ viennent de Proposition 6.6.2. On peut constater que $\mathrm{E}\left(X\right)$ vérifie EQ. 5.1. $\qedsymbol$

Remark 6.6.4   Pour la loi lognormale, les variables "en nombre" et "en poids" ont le même coefficient de variation.

Exercise 6.6.5   On considère un ensemble de particules en suspension dans un liquide. On suppose que la répartition "en poids" des poids de ces particules suit une loi lognormale de paramètres $M,\, k$. On suppose en outre que ces particules sont sphériques et ont une densité constante. Que peut-on dire de la répartition "en diamètre" des diamètres de ces particules (passer par l'intermédiaire des répartitions "en nombre").