x

Ensait -A1 - Stats/Probas

Date: Évaluation du 03/03/2004 - durée 2 h

Libre accès aux documents personnels et aux cours en ligne.
"La bonne rédaction des solutions fait partie des compétences évaluées."

1 Calculs élémentaires

1. On mélange une population de individus, ayant une moyenne et un écart-type avec une population de individus, ayant une moyenne et un écart-type . Déterminer la moyenne et l'écart-type de la population totale.
2. Si les âges d'un groupe de personnes sont distribués suivant la loi , quel est le pourcentage des membres de ce groupe ayant : (a) moins de 51 ans ; ( b) au moins 37 ans ; (c) entre 20 et 40 ans ?
3. On sait que la variable suit une loi normale et que et . Déterminer et .

2 Loi binomiale et loi de Poisson

On considère variables de Bernoulli indépendantes chacune d'elles ayant une probabilité de succès . On sait que la variable suit une loi binomiale.

1. Donner la formule de , ainsi que les valeurs de pour .
2. Rappeler les formules de calcul de l'espérance et de la variance d'une variable aléatoire discrète.
3. Utiliser les formules de Q2 et les valeurs de Q1 pour calculer des valeurs approchées et . Comparer avec les valeurs exactes (rappeler les formules valables pour une variable suivant la loi binomiale). Un histogramme est demandé.
4. Quel est la valeur du paramètre de la variable de Poisson présentant la meilleure ressemblance avec la variable binomiale étudiée ci-dessus ? Donner les valeurs à trois décimales de pour cette variable de Poisson. Vérifier les résultats obtenus en calculant de deux façons différentes. .../...

3 Corrélation (40 mn)

On considère un couple de variables aléatoires discrètes dont la distribution de probabilités est donnée par le tableau ci-dessous. Ainsi .

	1			5

1. Déterminer .
2. Que valent et ?
3. Les variables et sont-elles indépendantes ?
4. Donner la distribution marginale de , son espérance et sa variance.
5. Donner de même la distribution marginale de , son espérance et sa variance.
6. Calculer la covariance de et et le coefficient de corrélation linéaire de ces deux variables.
7. Déterminer la droite de tendance . Reporter tout cela sur un dessin.
8. Obtient-on une réduction de variance significative ?

4 Probabilités (20 mn)

1. On utilise un jeu de cartes et on en sélectionne . Quelle est la probabilité d'avoir au moins une paire, c'est à dire au moins deux cartes de même valeur ?
2. On répète fois le tirage décrit ci-dessus. Que doit valoir pour que la probabilité d'un échec total (c'est à dire ne jamais obtenir deux cartes de même valeur) soit inférieure à ?
3. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins trois cartes de même valeur (brelan) en un seul tirage d'une main de cartes ?