Ensait -E1 - Stats/Probas

Date: Évaluation du 04/05/2004 - durée 2 h

Libre accès aux documents personnels et aux calculatrices.
"La bonne rédaction des solutions fait partie des compétences évaluées."

1 Calculs élémentaires

1. On mélange une population de individus, ayant une moyenne et un écart-type avec une population de individus, ayant une moyenne et un écart-type . Déterminer la moyenne et l'écart-type de la population totale.
2. Si les âges d'un groupe de personnes sont distribués suivant la loi , quel est le pourcentage des membres de ce groupe ayant : (a) moins de 26 ans ; ( b) au moins 20 ans ; (c) entre 21 et 30 ans ?
3. On sait que la variable suit une loi normale et que et . Déterminer et .

2 Loi binomiale et loi de Gauss

On considère variables de Bernoulli indépendantes chacune d'elles ayant une probabilité de succès . On sait que la variable suit une loi binomiale.

1. Rappeler la formule de . Donner, à près, les valeurs de pour . Agglomérer les cas ayant une probabilité inférieure à .
2. Rappeler les formules de calcul de l'espérance et de la variance.
3. Utiliser les formules de Q2 et les valeurs de Q1 pour calculer des valeurs approchées de et . Comparer avec les valeurs exactes (rappeler les formules correspondantes). Reporter tout cela sur un histogramme.
4. Quels sont les paramètres de la variable normale présentant la meilleure ressemblance avec la variable binomiale étudiée ci-dessus ? Indiquer comment utiliser les tables de la loi normale pour obtenir une estimation des . Faire effectivement les calculs et comparer..../...

3 Corrélation

On considère un couple de variables aléatoires discrètes dont la distribution de probabilités est donnée par le tableau ci-dessous. Ainsi .

	1		4	5

1. Déterminer .
2. Que valent et ?
3. Les variables et sont-elles indépendantes ?
4. Donner la distribution marginale de , son espérance et sa variance.
5. Donner de même la distribution marginale de , son espérance et sa variance.
6. Calculer la covariance de et et le coefficient de corrélation linéaire de ces deux variables.
7. Déterminer la droite de tendance . Reporter tout cela sur un diagramme.
8. Obtient-on une réduction de variance significative ?

4 Probabilités conditionnelles

Une urne contient trois boules blanches et cinq noires. On tire successivement deux boules.

1. Quelle est la probabilité de tirer deux boules de la même couleur ?
2. On a tiré deux boules de la même couleur. Quelle est la probabilité pour que cette couleur soit le noir ?