Ensait -E1 - Stats/Probas

Date: Évaluation du 04/05/2005 - durée 2 h

Description du travail demandé

1. Chaque étudiant travaillera de façon isolée (avec le libre accès à ses propres documents).
2. Vérifier que la bibliothèque simul installée est bien simul v6-17. Sinon, exécuter le fichier http://www.douillet.info/~douillet/maple/upload6/simul6.mws.
3. Le compte-rendu se composera de :
   1. Un compte-rendu expérimental, sous forme d'un listing imprimé et paginé, contenant les procédures, les graphes et les calculs.
   2. Un compte-rendu mathématique, manuscrit ou imprimé, mettant en valeur les résultats obtenus et les méthodes utilisées.
   3. Le document complet sera agrafé et paginé. Vu les lenteurs des imprimantes mises à disposition, imprimer une page par feuille.
4. Une bonne gestion du temps fait partie des compétences évaluées. Prévoir le temps nécessaire pour les impressions. Faire un essai d'impression dès la première heure. Ne pas oublier les sauvegardes en cours de travail.
5. La ressemblance entre ce sujet et le projet mis à disposition depuis le 29/03 n'échappera à personne... Il est recommandé d'être attentif aux différences entre les deux sujets.
6. L'attention des étudiants est attirée sur le fait que le trafic réseau de leur ordinateur est susceptible d'être enregistré pendant la durée de l'évaluation.

1 Calculs élémentaires

1. On mélange une population de individus, ayant une moyenne et un écart-type avec une population de individus, ayant une moyenne et un écart-type . Déterminer la moyenne et l'écart-type de la population totale.
   1. D'après les définitions, on a les relations :
      
      
      

   2. On en déduit que :
      

2. Si les âges d'un groupe de personnes sont distribués suivant la loi , quel est le pourcentage des membres de ce groupe ayant : (a) plus de 20 ans ; ( b) moins de 50 ans ; (c) entre 30 et 40 ans ? Déterminer en outre placés symétriquement autour de la moyenne tels que .
   1. On peut calculer la variable réduite , puis utiliser Gauss(z), ou bien utiliser directement  
      F:= unapply(Norlaw(36,12,x), x);
   2. Les calculs donnent : , ,
   3. Cela revient à dire et . On a donc :
      

3. On sait que la variable suit une loi normale et que et . Déterminer et .
   1. On a donc et .
   2. On en déduit , .

2 Loi de la somme de deux variables

1. On considère la variable dont la densité de probabilité est donnée par :
   
   En donner la moyenne et l'écart-type. Tracer son histogramme. Variable uniforme sur l'intervalle . Donc et .
2. Même question avec la variable ayant pour densité de probabilité :
   
   Variable uniforme sur l'intervalle . Donc et .
3. On suppose que les variables et sont indépendantes. Décrire comment calculer la loi de la variable (il n'est pas demandé d'effectuer ce calcul). On utilise une convolution :
4. Il se trouve que la densité de probabilité de est donnée par :
   
   Déterminer la constante . Calculer directement la moyenne et l'écart-type de . Comparer avec les valeurs obtenues précédemment.

   Figure: La convolution donne un trapèze isocèle.

   

   1. Le graphe est un trapèze isocèle (cf. FIG. 1). La constante vaut . Elle est déterminée en écrivant que la surface totale vaut 1. Soit :
      

   2. La moyenne vaut (axe de symétrie). C'est aussi la moyenne de et .
   3. La variance s'obtient par . Elle est égale à à cause de l'indépendance. Elle vaut .

3 Loi binomiale et loi de Gauss

1. Soit le nombre de succès obtenus en essais indépendants, ayant chacun une probabilité de réussite égale à . Tracer l'histogramme de la variable . Déterminer et représenter la moyenne et l'écart-type de cette variable.
   1. La loi binomiale , s'écrit . On obtient l'histogramme en insérant chaque valeur dans un intervalle de largeur . Cela donne :
      

   2. Les macros moy et var permettent de vérifier les formules et .
   3. Un dessin est demandé.
2. On souhaite approximer cette distribution en utilisant la loi normale. Décrire comment faire. Tracer l'histogramme correspondant. Superposer ces deux histogrammes.
   1. On approxime par la loi normale ayant les mêmes paramètres. On pose donc 
      F:= unapply(Norlaw(mu, sigma,x), x) ;
   2. Pour tracer l'histogramme demandé, on utilise les mêmes classes. On a donc
      dat_nor:= [Weight(-0.5 .. 0.5, F(0.5)-F(-0.5)), ... ] ;
   3. Et on superpose, obtenant la FIG. 2.

Figure 2: Loi binomiale et loi de Gauss.

4 Corrélation

La suite de commandes Maple :
N:=50: tmp:= stats[random, normald](2*N): 
lix:= [seq(tmp[2*j ]*3+tmp[2*j-1]*2, j=1..N)]: 
liy:= [seq(tmp[2*j-1]  +tmp[2*j ]  , j=1..N)]: 
fournit deux listes de 50 nombres. Considérer qu'il s'agit respectivement des abscisses et des ordonnées de 50 couples .

Figure: Corrélation.

1. Donner une représentation "sunflower" de cette population. On obtient la FIG. 3.
2. Déterminer la meilleure prévision pour connaissant .
   1. Pour l'exemple choisi,
      mx,vx:= moy(lix), var(lix) ; my,vy:= moy(liy), var(liy) ;
      
      
      vxy:= cov(lix,liy) ; frv:= 1/(1-vxy2/vx/vy) ;
      

   2. On en déduit : 
      drco:= my+(x-mx)*vxy/vx ;  
      drdn, drup:= drco-sqrt(vy/frv), drco+sqrt(vy/frv) ;
      
      

3. Déterminer la meilleure prévision pour connaissant . Cette droite passe aussi par le point moyen. Par contre, sa pente (dans le repère ) vaut vxy/vy. Exprimée dans le repère , cela donne vy/vxy et les deux droites sont voisines l'une de l'autre. En effet, le quotient des deux pentes (exprimées toutes deux dans le repère ) vaut
   

4. Tracer les deux bandes de confiance correspondantes. Ces deux bandes sont parallèles, mais n'ont pas la même épaisseur.

5 Probabilités conditionnelles

Une urne contient cinq boules blanches et sept noires. On tire successivement trois boules (la loi de chaque tirage est supposée être la loi uniforme sur les boules présentes dans l'urne).

1. Quelle est la probabilité de tirer trois boules de la même couleur ?
   1. Il y a tirages possibles, dont sont favorables.
   2. La probabilité de succès (tirage uniforme) est donc .
2. On a tiré trois boules de la même couleur. Quelle est la probabilité pour que cette couleur soit le noir ?
   1. On se trouve dans l'un des cas favorables de la question précédente.
   2. La probabilité du noir est donc .