Ensait -A1 - Stats/Probas

Date: Évaluation du 20/06/2005 - durée 2 h

Description du travail demandé

1. Chaque étudiant travaillera de façon isolée (avec le libre accès à ses propres documents).
2. Vérifier que la bibliothèque simul installée est bien simul v6-17. Sinon, exécuter le fichier http://www.douillet.info/~douillet/maple/upload6/simul6.mws.
3. Le compte-rendu se composera de :
   1. Un compte-rendu expérimental, sous forme d'un listing imprimé et paginé, contenant les procédures, les graphes et les calculs.
   2. Un compte-rendu mathématique, manuscrit ou imprimé, mettant en valeur les résultats obtenus et les méthodes utilisées.
   3. Le document complet sera agrafé et paginé. Vu les lenteurs des imprimantes mises à disposition, imprimer une page par feuille.
4. Une bonne gestion du temps fait partie des compétences évaluées. Prévoir le temps nécessaire pour les impressions. Faire un essai d'impression dès la première heure. Ne pas oublier les sauvegardes en cours de travail.
5. L'attention des étudiants est attirée sur le fait que le trafic réseau de leur ordinateur est susceptible d'être enregistré pendant la durée de l'évaluation.

1 Calculs élémentaires

1. On mélange une population de individus, ayant une moyenne et un écart-type avec une population de individus, ayant une moyenne et un écart-type . Déterminer la moyenne et l'écart-type de la population totale.
2. Si le titre du fil d'un ensemble de bobines est distribués suivant la loi , quel est le pourcentage de bobines dont le titre est : (a) plus de 90 ; ( b) moins de 120 ; (c) entre 80 et 115 ? Déterminer en outre placés symétriquement autour de la moyenne tels que .
3. On sait que la variable suit une loi normale et que et . Déterminer et .

.../...

2 Loi binomiale et loi de Gauss

1. Soit le nombre de succès obtenus en essais indépendants, ayant chacun une probabilité de réussite égale à . Tracer l'histogramme de la variable . Déterminer et représenter la moyenne et l'écart-type de cette variable.
2. On souhaite approximer cette distribution en utilisant la loi normale. Décrire comment faire. Tracer l'histogramme correspondant. Superposer ces deux histogrammes.

3 Corrélation

Exécuter dans la même cellule la suite de commandes Maple :
nom:= "votre_nom"; _randseed:= `+`(disassemble(addressof(nom))); 
N:=50: tmp:= stats[random, normald](2*N): 
... en remplaçant "votre_nom"... . Les commandes
lix:= [seq(tmp[2*j ]*3+tmp[2*j-1]*2, j=1..N)]: 
liy:= [seq(tmp[2*j-1]  +tmp[2*j ]  , j=1..N)]: 
fournissent alors deux listes de 50 nombres. Considérer qu'il s'agit respectivement des abscisses et des ordonnées de 50 couples .

1. Donner une représentation "sunflower" de cette population.
2. Déterminer la meilleure prévision pour connaissant .
3. Déterminer la meilleure prévision pour connaissant .
4. Tracer les deux bandes de confiance correspondantes.

4 Probabilités conditionnelles

Une urne contient 8 boules blanches et 10 noires. On tire successivement quatre boules (la loi de chaque tirage est supposée être la loi uniforme sur les boules présentes dans l'urne).

1. Quelle est la probabilité de tirer quatre boules de la même couleur ?
2. On a tiré quatre boules de la même couleur. Quelle est la probabilité pour que cette couleur soit le noir ?