Ensait -A1 - Stats/Probas

Date: Évaluation du 16/06/2005 - durée 2 h

Rappel des consignes

Les consignes données lors de l'évaluation MAO 2005-2006 continuent d'être valables. Elles sont consultables à l'adresse :
http://www.douillet.info/~douillet/maotp/maotp_ds11/index.html. En particulier, l'attention des étudiants est attirée sur le fait que le trafic réseau de leur ordinateur est susceptible d'être enregistré pendant la durée de l'évaluation.

1 Calculs élémentaires

1. On mélange une population de individus, ayant une moyenne et un écart-type avec une population de individus, ayant une moyenne et un écart-type . Déterminer la moyenne et l'écart-type de la population totale.
2. Si le titre du fil d'un ensemble de bobines est distribués suivant la loi , quel est le pourcentage de bobines dont le titre est : (a) plus de ; ( b) moins de ; (c) entre et ? Déterminer en outre placés symétriquement autour de la moyenne tels que .
3. On sait que la variable suit une loi normale et que et . Déterminer et .

.../...

2 Probabilités conditionnelles

Une urne contient 4 boules blanches et 6 noires. On tire successivement trois boules (la loi de chaque tirage est supposée être la loi uniforme sur les boules présentes dans l'urne).

1. Quelle est la probabilité de tirer trois boules de la même couleur ?
2. On a tiré trois boules de la même couleur. Quelle est la probabilité pour que cette couleur soit le noir ?
3. Initialiser le générateur aléatoire par la commande
   _seed:=yyyymmjj; 
   où yyyy est votre année de naissance, mm le mois et jj le jour. Éviter les fautes d'orthographe dans cette commande, cela fait tout planter (mais vous aviez sauvegardé...). On rappelle que la procédure ra() fournit des nombres 'aléatoires' compris entre 0 et .
4. Décrire dans le détail ce que font les procédures :
   tire_1:= proc() global a,b: 
     if ra() < a/(a+b) then a:=a-1: return 0 else b:=b-1; return 1 fi;  
   end; 
   tire:= proc() global a,b: local u,v,w;  
     a,b:=4,6; u,v,w:= 'tire_1()'$3; return u+v+w;  
   end:
5. Réinitialiser le générateur et obtenir une liste de valeurs avec
   _seed:=yyyymmjj;
   li:= [ 'tire()'$N];  
   Moyenne, variance, histogramme. Faire apparaître les paramètres de dispersion sur l'histogramme. Comparer les fréquences expérimentales avec les probabilités obtenues en 1 et 2.

3 Transformée de Fourier

1. Réinitialiser le générateur et engendrer une série temporelle de 500 valeurs avec
   _seed:=yyyymmjj; 
   genere:= proc(k) 50+100*exp(-k/200)+15*cos(Pi*k/7)+3*ra(); evalf(%) end;
   data:= [seq(genere(k), k=1..n)]:
2. Moyenne, variance, représentation graphique.
3. Ces données présentent une pseudo-période. Donner les détails des calculs permettant de retrouver cette période par une transformation de Fourier. Tracer les graphes correspondants. Que remarque-t-on ?
4. Détermination de la tendance à long terme par une moyenne mobile. Graphe. Que remarque-t-on ?