Ensait - A1 - Stats/Probas

Évaluation du 27/06/2007 à 16h15
durée 2 heures

tous documents autorisés
le sujet comporte deux pages

Rappel des consignes

Les consignes données lors de l'évaluation MAO 2006-2007 continuent d'être valables. Elles sont consultables à l'adresse :
http://www.douillet.info/~douillet/maotp/maotp_ds15/index.html. En particulier, l'attention des étudiants est attirée sur le fait que le trafic réseau de leur ordinateur est susceptible d'être enregistré pendant la durée de l'évaluation.

1 Regroupement de deux populations

On mélange une population de $N_{1}=47$ individus, ayant une moyenne $\mu_{1}=60$ et un écart-type $\sigma_{1}=8$ avec une population de $N_{2}=63$ individus, ayant une moyenne $\mu_{2}=35$ et un écart-type $\sigma_{2}=6$. Déterminer la moyenne et l'écart-type de la population totale.

2 Usage des tables de la loi normale

1. Les durées d'un ensemble de processus sont approximativement distribués suivant la loi $Norm\left(110,\,14\right)$. Quel est le pourcentage de processus ayant une durée : (a) supérieure à $100$ ; ( b) inférieure à $130$ ; (c) comprise entre $90$ et $120$ ?
2. Pour la distribution précédente, trouver $a,\, b$, placés symétriquement autour de la moyenne, tels que $Pr\left(x\in\left[a,\, b\right]\right)=1/2$.
3. On sait que la variable $X$ suit une loi normale et que $Pr\left(X<9\right)=0.39$ et $Pr\left(17<X\right)=0.35$. Déterminer $\mu$ et $\sigma$.

3 Somme de variables

On suppose que les variables indépendantes $X$ et $Y$ sont uniformément distribuées sur, respectivement, $\left[1,3\right]$ et $\left[2,5\right]$.

1. Exprimer les densités de probabilité des variables $X$ et $Y$ en utilisant la fonction de Heaviside.
2. Déterminer la distribution de la variable $Z=X+Y$.

4 Droite de régression affine

Le nombre yyyymmdd est à personnaliser, de sorte que dd/mm/yyyy soit votre date de naissance.
La suite de commandes Maple :

_seed:= yyyymmdd; 
N:=100: tmp:= stats[random, normald](2*N): 
lix:= [seq(tmp[2*j  ]*3+2*tmp[2*j-1], j=1..N)]: 
liy:= [seq(tmp[2*j-1]*3+2*tmp[2*j  ], j=1..N)]:

fournit deux listes de 100 nombres. Considérer qu'il s'agit respectivement des abscisses et des ordonnées de 100 couples $\left(x,\, y\right)$.

1. Donner une représentation "sunflower" de cette population.
2. Déterminer la meilleure prévision pour $y$ connaissant $x$.
3. Déterminer la meilleure prévision pour $x$ connaissant $y$.
4. Tracer les deux bandes de confiance correspondantes.