Ensait - E1 - Stats/Probas

Évaluation du 2007-09-04 (16h15-18h15)

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le sujet comporte deux pages

Rappel des consignes

Les consignes données lors de l'évaluation MAO 2006-2007 continuent d'être valables. Elles sont consultables à l'adresse :
http://www.douillet.info/~douillet/maotp/maotp_ds17/index.html. En particulier, l'attention des étudiants est attirée sur le fait que le trafic réseau de leur ordinateur est susceptible d'être enregistré pendant la durée de l'évaluation.

1 Regroupement de deux populations

On mélange une population de $N_{1}=25$ individus, ayant une moyenne $\mu_{1}=14$ et un écart-type $\sigma_{1}=6$ avec une population de $N_{2}=35$ individus, ayant une moyenne $\mu_{2}=17$ et un écart-type $\sigma_{2}=4$. Déterminer la moyenne et l'écart-type de la population totale.

2 Usage des tables de la loi normale

1. Si les âges d'un groupe de personnes sont distribués suivant la loi $Norm\left(35,\,11\right)$, quel est le pourcentage des membres de ce groupe ayant : (a) moins de 45 ans ; ( b) au moins 50 ans ; (c) entre 25 et 40 ans ?
2. On sait que la variable $X$ suit une loi normale et que $Pr\left(X<7\right)=0.24$ et $Pr\left(20<X\right)=0.19$. Déterminer $\mu$ et $\sigma$.

3 Somme de variables

On rappelle qu'il existe des méthodes efficaces pour traiter les problèmes répétitifs.

1. On considère la variable aléatoire $X$ définie par $Pr\left(1\right)=0.33$, $Pr\left(2\right)=0.28$ et $Pr\left(3\right)=0.39$. Moyenne, variance. Histogramme de la variable réduite associée.
2. On considère en outre la variable $Y$, de même loi que $X$ et on suppose que $X,\, Y$ sont indépendantes. Déterminer les valeurs et les probabilités de la variable $X+Y$. Moyenne, variance. Histogramme de la variable réduite associée.
3. On considère en outre la variable $Z$, de même loi que $X$ et on suppose que $X,\, Y,\, Z$ sont indépendantes deux à deux. Déterminer les valeurs et les probabilités de la variable $X+Y+Z$. Moyenne, variance. Histogramme de la variable réduite associée.
4. On considère en outre la variable $T$, de même loi que $X$ et on suppose que $X,\, Y,\, Z,\, T$ sont indépendantes deux à deux. Déterminer les valeurs et les probabilités de la variable $S=X+Y+Z+T$. Moyenne, variance. Histogramme de la variable réduite associée.
5. Constater que ces histogrammes ressemblent de mieux en mieux à une certaine loi limite. Préciser laquelle. En tracer la courbe sur l'histogramme de $S$.

4 Droite de régression affine

Le nombre yyyymmdd est à personnaliser, de sorte que dd/mm/yyyy soit votre date de naissance.
La suite de commandes Maple :

_seed:= yyyymmdd; 
N:=100: tmp:= stats[random, normald](2*N): 
lix:= [seq(tmp[2*j  ]*3.1+1.9*tmp[2*j-1], j=1..N)]: 
liy:= [seq(tmp[2*j-1]*3.1+1.9*tmp[2*j  ], j=1..N)]:

fournit deux listes de 100 nombres. Considérer qu'il s'agit respectivement des abscisses et des ordonnées de 100 couples $\left(x,\, y\right)$.

1. Donner une représentation "sunflower" de cette population.
2. Déterminer la meilleure prévision pour $y$ connaissant $x$.
3. Déterminer la meilleure prévision pour $x$ connaissant $y$.
4. Tracer les deux bandes de confiance correspondantes.