Ensait - E1 - Stats/Probas

Évaluation du 2009-01-21 à 08h00
durée 2 heures

tous documents autorisés
le sujet comporte deux pages

Descriptif du travail demandé

1. La première qualité que l'on attend d'un ingénieur est de savoir présenter ses conclusions. Les listings, les calculs, les graphiques et autres "sorties d'ordinateur" ne peuvent en aucun cas remplacer un relevé de conclusions, rédigé de façon précise et scientifique. Ces différents types de matériaux doivent être ordonnés de façon à produire un document organisé, fournissant une liste de réponses argumentées à la liste des questions de l'énoncé.
2. La méthode RECOMMANDÉE est de rédiger les réponses à la main et de faire des couper-coller avec des ciseaux et de la colle pour insérer les "sorties d'ordinateur" sur votre copie. L'expérience confirme que cette méthode est à la fois la plus rapide et la plus robuste. C'est aussi celle qui permet de se concentrer sur les compétences évaluées et non sur les compétences/incompétences en dactylographie.
3. Un minimum de rigueur orthographique et grammaticale est attendu. Il sera considéré qu'un étudiant incapable de comprendre la grammaire élémentaire n'est probablement pas capable de comprendre des notions d'un niveau ingénieur.
4. Les copies sont évaluées en proportion de leur contenu et pas en fonction de leur poids. Dans cet ordre d'idées, il est demandé d'imprimer les procédures que vous avez modifiées (i.e dont vous êtes co-auteur) et pas la totalité des bibliothèques mises à votre disposition.
5. Une bonne gestion du temps fait partie des compétences évaluées. Prévoir le temps nécessaire pour les impressions. Imprimer les graphiques au fur et à mesure. Ne pas oublier les sauvegardes en cours de travail.
6. L'attention des étudiants est attirée sur le fait que le trafic réseau de leur ordinateur est susceptible d'être enregistré pendant la durée de l'évaluation.

Dans tout ce qui suit, le nombre ddmmyy ci-dessous est à personnaliser, de sorte que dd/mm/19yy soit votre date de naissance.

1 Regroupement de deux populations

1. Copier/coller et exécuter sous scilab les commandes suivantes (rappel : ddmmyy doit être personnalisé) :
   grand('setsd', ddmmyy)  
   N1= grand(1,'uin',40,50), N2= grand(1,'uin',50,60) 
   m1= grand(1,'uin',22,26), m2= grand(1,'uin',16,21) 
   s1= grand(1,'uin',10,14), s2= grand(1,'uin', 5, 9) 
   Ces valeurs sont à utiliser dans la question suivante.
2. On mélange deux populations disjointes. L'une se compose de $N_{1}$ individus, ayant une moyenne $m_{1}$ et un écart-type $s_{1}$ et l'autre se compose de $N_{2}$ individus, ayant une moyenne $m_{2}$ et un écart-type $s_{2}$. Déterminer la moyenne et l'écart-type de la population totale.

2 Usage des tables de la loi normale

Selon la méthode choisie, on indiquera comment utiliser les tables données dans le polycopié ou bien comment utiliser la fonction cdfnor.

1. Les durées d'un ensemble de processus sont approximativement distribués suivant la loi $Norm\left(95,\,13\right)$. Quel est le pourcentage de processus ayant une durée : (a) supérieure à $85$ ; ( b) inférieure à $100$ ; (c) comprise entre $80$ et $110$ ?
2. Pour la distribution précédente, trouver $a,\, b$, placés symétriquement autour de la moyenne, tels que $Pr\left(x\in\left[a,\, b\right]\right)=1/2$.
3. On sait que la variable $X$ suit une loi normale et que $Pr\left(X<11\right)=0.37$ et $Pr\left(17<X\right)=0.48$. Déterminer $\mu$ et $\sigma$.

3 Loi binomiale

1. Utiliser les commandes  
   N=4000 ; grand(setsd, ddmmyy) ; xxx=grand(N,1,'bin',50,0.4) ;
   pour engendrer une liste $X$ de $N=4000$ nombres. Calculer la moyenne et la variance de $X$. Que remarque-t-on ?
2. Rappeler ce qu'est "la variable réduite". Tracer son histogramme.
3. Recommencer avec N=5000 ; grand(setsd, ddmmyy) ; yyy=grand(N,1,'bin',70,0.2) ; 
   Comparer les deux histogrammes.
4. On pose zzz=diff(xxx). Que fait cette commande ? Moyenne et variance de $Z$. Comparer avec $X$.

4 Loi de Poisson

1. Les commandes  
   pr=binomial(0.37, 10); plot(pr(1:12)) 
   permettent de tracer une courbe.
2. Déterminer les x et y nécessaires dans  
   pr=binomial(x, 20); plot(pr(1:12)) 
   pr=binomial(y, 40); plot(pr(1:12)) 
   pour que la superposition des trois courbes illustre le passage à la limite vers une loi de Poisson, dont on rappellera les caractéristiques.

5 Droite de régression affine

1. Télécharger le fichier
   http://www.douillet.info/~douillet/cours/stats/datas/football.txt
   et lire les lignes de ce fichier sous Scilab.
2. Récupérer les valeurs numériques. Sélectionner les colonnes ht (height=taille) et wt (weight=poids). En cas de "drame non résolu", il est toujours possible de retravailler le fichier de données avec un traitement de texte.
3. Calculer les 6 paramètres de dispersion de la distribution $\left(ht,\, wt\right)$. Représenter ces points, représenter les moyennes et les écarts-type.
4. Calculer la droite de régression et le FRV correspondant. Reporter le tout sur le dessin.