1.3 Optimisation avec contrainte égalité

Previous: 1.2 Optimisation sans contrainte Up: 1 Programmation non linéaire Next: 1.4 Optimisation avec contrainte

Subsections

1.3 Optimisation avec contrainte égalité

1.3.1 Premier exemple

On veut trouver les valeurs extremales de $f\left( x,\, y\right) =\left( x+y\right) ^{2}+x+y$ sous la contrainte que $g\left( x,\, y\right) =x^{2}+y^{2}-1$ soit nulle.

Méthode de Lagrange. Nous posons $\varphi =f+\mu \, g$ et nous cherchons les points de gradient nul. Il vient $\varphi '=\left[ 2x+2y+1+2\mu \, x,\; 2x+2y+1+2\mu \, y,\; x^{2}+y^{2}-1\right]$ qui a pour solutions $\left[ \begin{array}{ccc} x & y & f\left( x,\, y\right) \\ -\frac{1}{4}-\fra... ... -\frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} & 2-\sqrt{2} \end{array}\right]$ . Il reste à déterminer la nature des points obtenus.
Méthode paramétrique. La contrainte a pour résultat de faire baisser le nombre de variables indépendantes. On peut ainsi poser $x=\cos t$ et $y=\sin t$ . Il vient alors $F\left( t\right) \doteq f\left( x,t\right) =\left( \mathrm{cos}\left( t\right... ...\right) \right) ^{2}+\mathrm{cos}\left( t\right) +\mathrm{sin}\left( t\right)$ , et l'on est en présence d'un problème sans contrainte. Les points critiques correspondent à
$t\in \left[ \frac{1}{4}\pi ,\, -\frac{3}{4}\, \pi ,\, \arctan \frac{-\frac{1}... ...}{4}+\frac{1}{4}\, \sqrt{7}}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\, \sqrt{7}}+\pi \right]$ , pour lesquels $F'\left( t\right)$ vaut respectivement $[-5.41,\, -2.56,\, 3.5,\, 3.5]$ , donnant la nature des points.

**Figure:** Tracé de $F\left ( t\right )$ .
$\resizebox*{0.4\textwidth}{0.2\textheight}{\includegraphics{minimax_02.eps}}$

On se pose le même problème pour $f\left( x,\, y,\, z\right) =\left( x+y+z\right) ^{2}+x+y+z$ sachant que $g\left( x,\, y,\, z\right) =x^{2}+y^{2}+z^{2}-1$ est nul. On trouve $\left[ \begin{array}{cccc} x & y & z & Fu\\ -\frac{1}{4}-\frac{1}{2}z-\frac{... ...ac{1}{3}\, \sqrt{3} & -\frac{1}{3}\, \sqrt{3} & 3-\sqrt{3} \end{array}\right]$ où l'on a posé $W=\sqrt{7-4\, z-12\, z^{2}}$

**Figure:** Les points extrémaux.
$\resizebox*{!}{0.2\textheight}{\includegraphics{minimax_03.eps}}$

.03

f:='f' : g:='g' : phi:= f(x,y)+mu*g(x,y) ;
$\varphi :=\mathrm{f}\left( x,\, y\right) +\mu \, \mathrm{g}\left( x,\, y\right)$

defab:= k=series(a*h+b*h^2/2,h) ; g(x+h,y+k) ; mtaylor(%,[h,k],3) : subs(defab, %) : convert(series(%,h,3), polynom) :

valab:= solve({coeffs(%,h)},{g(x,y),a,b}) ;
$defab:=k=a\, h+\frac{1}{2}\, b\, h^{2}$
$\mathrm{g}\left( x+h,\, y+k\right)$

MULTILINE
$\begin{array}{ll} valab:=\{\mathrm{g}\left( x,\, y\right) =0,b=-\left( {\math... ...right) }{{\mathrm{D}_{2}}\left( g\right) \left( x,\, y\right) }\} \end{array}$

mtaylor(f(x+h,y+k), [h,k],3) : tmp:= series(subs(defab, valab, %), h, 3) ;

MULTILINE

$tmp:=\mathrm{f}\left( x,\, y\right) +\left( {\mathrm{D}_{1}}\left( f\right) \... ...y\right) }{{\mathrm{D}_{2}}\left( g\right) \left( x,\, y\right) }\right) \, h$
$\begin{array}{ll} +(-\frac{1}{2}{\mathrm{D}_{2}}\left( f\right) \left( x,\, y... ...) \left( x,\, y\right) ^{2}})h^{2}+\mathrm{O}\left( h^{3}\right) \end{array}$ \begin{flushleft}Onveut que les deux surfaces soient tangentes\end{flushleft}

lag_rule:= expand(coeff(tmp,h,1)/D[1](g)(x,y)) ;
$lag\_rule:=\frac{{\mathrm{D}_{1}}\left( f\right) \left( x,\, y\right) }{{\mat... ...\left( x,\, y\right) }{{\mathrm{D}_{2}}\left( g\right) \left( x,\, y\right) }$

coeff(tmp,h^2) : collect(%, [D[1,1](g)(x,y)] ) ;

MULTILINE
$\begin{array}{ll} -\frac{1}{2}\, \frac{{\mathrm{D}_{2}}\left( f\right) \left(... ... ^{2}}{{\mathrm{D}_{2}}\left( g\right) \left( x,\, y\right) ^{2}} \end{array}$

grf:= map2(diff,phi,[x,y,mu]) ;
$grf:=[\left( {\frac{\partial }{\partial x}}\, \mathrm{f}\left( x,\, y\right) ... ..., \mathrm{g}\left( x,\, y\right) \right) ,\, \mathrm{g}\left( x,\, y\right) ]$

Previous: 1.2 Optimisation sans contrainte Up: 1 Programmation non linéaire Next: 1.4 Optimisation avec contrainte

douillet@ensait.fr
2001-11-21

1.3 Optimisation avec contrainte égalité

1.3.1 Premier exemple

1.3.2 Deuxième exemple