B. Compléments sur le test du $\chi ^{2}$

B.1 Quelques rappels sur les formes quadratiques

Definition B.1.1   Une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux par rapport aux variables.

Algorithm B.1.2 (Complétion des carrés)   Exemple : on part de

$$q=3x^{2}+5y^{2}-17x\, y+4x\, z+z^{2}$$

On regroupe les termes contenant $x$ pour former un carré. Il vient :

$$q = 3\left(x-\frac{17}{6}y+\frac{2}{3}z\right)^{2}-3\left(-\frac{17}{6}y+\frac{2}{3}z\right)^{2}+5y^{2}+z^{2}$$

$$= 3\left(x-\frac{17}{6}y+\frac{2}{3}z\right)^{2}-\frac{229}{12}y^{2}+\frac{34}{3}y\, z-\frac{1}{3}z^{2}$$

On recommence avec la variable suivante et on obtient finalement

$$q=3\left(x-\frac{17}{6}y+\frac{2}{3}z\right)^{2}-\frac{229}{12}\left(y-\frac{68}{229}z\right)^{2}+\frac{309}{229}z^{2}$$

Theorem B.1.3   Théorème de décomposition :

1. Une forme quadratique se décompose en une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes.
2. Le nombre de termes est indépendant de la décomposition (rang de la forme quadratique).
3. Pour une forme à coefficients réels, la signature (nombre de coefficients strictement positifs et nombre de coefficients strictement négatifs) est indépendante de la décomposition.

B.2 Passage à la limite pour $n\rightarrow \infty$

1. Appliquons l'algorithme de complétion des carrés au $\chi_{Pearson}^{2}$. Pour $\nu=3$, la substitution de $p_{0}=1-\sum_{j=1}^{\nu}\, p_{j}$ et de $n_{0}=n-\sum_{j=1}^{\nu}\, n_{j}$, suivie d'une complétion des carrés, permet de transformer
   $\frac{\left(n_{0}-n\, p_{0}\right)^{2}}{n\, p_{0}}+\frac{\left(n_{1}-n\, p_{1}... ...p_{2}\right)^{2}}{n\, p_{2}}+\frac{\left(n_{3}-n\, p_{3}\right)^{2}}{n\, p_{3}}$ en :
   $\frac{1}{n\,\left(1-p_{1}\right)\, p_{1}}\left(n_{1}-n\, p_{1}\right)^{2}+\fra... ...2}-p_{3}\right)}\left(n_{3}-\frac{n-n_{1}-n_{2}}{1-p_{1}-p_{2}}p_{3}\right)^{2}$.
2. Résultat : en posant $Z_{j}^{2}=\frac{\left(n_{j}-M_{j}\, q_{j}\right)^{2}}{M_{j}\, q_{j}\,\left(1-q_{j}\right)}$, $M_{j}=n-\sum_{k=1}^{j-1}\, n_{k}$ et $q_{j}=\frac{p_{j}}{1-\sum_{k=1}^{j-1}\, p_{k}}$, il vient :
   $${\displaystyle \chi^{2}=\sum_{j=1}^{r}\frac{M_{j}\, q_{j}}{n\, p_{j}}\, Z_{j}^{2}}$$

3. Interprétation. Les quantités $M_{j}$ et $q_{j}$ ne sont pas de simples "artifices techniques" et possèdent une signification fondamentale. Les événements multinomiaux $\left(n_{0},\, n_{1},\,\cdots,\, n_{\nu}\right)$, régis par les probabilités $n!\,\prod\,\left(p_{j}^{n_{j}}\,/\, n_{j}!\right)$ peuvent être obtenus selon l'algorithme suivant. En un premier temps, $n_{1}$ est obtenu en $M_{1}=n$ épreuves de Bernoulli indépendantes, avec $q_{1}=p_{1}$ comme probabilité élémentaire, c.à.d selon la loi binomiale $\left(M_{1},\, q_{1}\right)$. Dans une seconde étape, $n_{2}$ est obtenu en $M_{2}=n-n_{1}$ épreuves de Bernoulli indépendantes, avec la probabilité conditionnelle $q_{2}=p_{2}/\left(1-p_{1}\right)$ comme probabilité élémentaire. Dans une troisième étape, $n_{3}$ est obtenu en $M_{3}=n-n_{1}-n_{2}$ épreuves de Bernoulli indépendantes, avec la probabilité conditionnelle $q_{3}=p_{3}/\left(1-p_{1}-p_{2}\right)$ comme probabilité élémentaire. Et ainsi de suite, jusqu'à l'obtention de $n_{\nu}$. Après quoi, $n_{0}$ est obtenu par $n_{0}=n-\sum_{j=1}^{\nu}\, n_{j}$.
4. Passage à la limite. On voit que les coefficients $\frac{M_{j}\, q_{j}}{n\, p_{j}}$ sont de limite $1$, tandis que les variables $Z_{j}$ finissent par se comporter comme des variables normales réduites lorsque $n\rightarrow \infty$. La loi de répartition du $\chi ^{2}$ de Pearson a donc pour limite à l'infini la "loi du $\chi_{\nu}^{2}$".
5. Rappel du critère pratique : il n'est pas question d'augmenter le nombre tests jusqu'à obtenir $n\rightarrow \infty$. On se limite à exiger $\forall i\,:\, n\, p_{i}\geq5$.