Thème 07
Analyse de Fourier
Application aux séries temporelles

Rappels sur les séries de Fourier

Pour une fonction f définie sur R, continue par morceaux, périodique et de période T, on définit ses coefficients de Fourier par

On sait que, pour une fonction C¹ par morceaux, la somme suivante converge, lorsque n tend vers l'infini, vers la fonction f sauf en un nombre fini de points.

Exercice

On considère la fonction échelon suivante

f(t) = 0 si 0 < t < T/2

f(t) = 1 si T/2 < t < T

On demande de calculer, numériquement, les coefficients de Fourier de cette fonction, puis d''évaler la convergence de la somme S_p

Périodicité des séries temporelles

Étant donné une série statistique, x1,...,xn, on appelle périodogramme la série,

On demande, d'analyser, à l'aide du périodogramme la série donnée en exemple.