TP 02

Date: 13 Novembre 2006

On s'intéresse aux valeurs propres d'une matrice. Les calculs matriciels nécessitent le chargement d'une bibliothèque spéciale. Utiliser la commande with (LinearAlgebra) ; Attention au fait que les objets ayant le type Matrix ne se comportent pas comme les objets de type matrix, qui sont gérés par la bibliothèque linalg. Consulter l'aide en ligne pour plus de détails. Les compte-rendus doivent être conformes aux consignes de présentation qui ont été données.

1 Valeur propre dominante d'une matrice

1. Rappeler ce que sont les valeurs propres d'une matrice. Déterminer une valeur approchée des valeurs propres de :
   

2. On part d'un vecteur arbitraire, par exemple . Calculer les produits successifs . Normaliser ces vecteurs. Que remarque-t-on ?
3. On part d'un autre vecteur (commande RandomVector). Conclure.
4. Utiliser la norme pour standardiser la taille des vecteurs n'est pas le plus efficace. Écrire une procédure qui sélectionne, dans un vecteur donné, le coefficient de plus grand module.

2 Cas général.

1. Choisir une matrice par la commande RandomMatrix.
2. On part d'un vecteur colonne arbitraire. Calculer le produit , puis le normaliser, obtenant la colonne . Itérer. Constater qu'assez souvent il y a convergence.
3. Se demander quelles peuvent être les causes de non convergence et y remédier.
4. Proposer et mettre en oeuvre une méthode pour obtenir la valeur propre de plus petit module, ainsi qu'un vecteur propre associé.
5. On suppose connue une valeur approchée d'une valeur propre . Proposer et mettre en oeuvre une méthode pour obtenir de meilleures approximations de , ainsi que du vecteur propre associé.

3 Matrice compagnon

1. Choisir un polynôme par la commande randpoly.
2. Appliquer la commande CompanionMatrix à ce polynôme. On obtient une matrice . Quels sont les liens entre et ?
3. En déduire une résolution approchée de .