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TP 02

Valeurs propres, Vecteurs propres

Rappel de consignes

(1) titre en "Times New Roman", corps 36,

NOM Prénom - groupe

tp02 - date

(2) sauvegarder "souvent"

(3) imprimer : paginer (Format/Page_Number)

puis File/Preview.

enfin imprimer en deux colonnes

>

Matrices

> with(LinearAlgebra);

Vecteurs

> vec1:= <1,2,3> ; vec2:= <x|y|z> ;

Produits

> vec1 . vec2 ; vec2 . vec1;

Matrices : ne pas confondre lignes et colonnes !!!

> ma:= < < 1,2> | <3,4>>;
mb:= < <1|2> , <3|4>>;

Autre syntaxe

> Matrix([[1,2], [3,4]]);

Pour les nostalgiques

> matrix(3, 3, [53, 61, 23, 37, -31, 34, 42, -88, 76]); ma:= Matrix(%);

> convert(ma, listlist);

> Dimension(vec1); Dimension(ma);

>

Polynôme caractéristique

Définition

> linalg[det](x-ma): sort(%);

> Determinant(ma); Trace(ma);

> CharacteristicPolynomial(ma, x): sort(%); fso:= fsolve(%);

> fso;

Valeur propre dominante

> Digits:=20:

> v0:= <1.,1.,1.>;

> ma . v0 : v1:= %/Norm(%) ;

> ma . v1 : v2:= %/Norm(%) ;

On construit une procédure pour faciliter les répétitions

> iter_ma := proc(v1);
ma .v1 : %/Norm(%) ;
end;

L'opérateur @ est la composition et
@@ est la puissance de composition

> vec30:= (iter_ma@@30)(v0); vec31:= iter_ma(%); vec31-vec30;

> vp1:= Norm(ma . vec31);

>

Valeur propre proche de 0

> mb:= 1./ma; iter_mb := proc (v1) mb.v1; %/LinearAlgebra:-Norm(%) end proc ;

> vec50:= (iter_mb@@50)(v0); vec51:= iter_mb(%); vec52:= iter_mb(%);

> vec52-vec50;

> vp3:= 1/ Norm((mb . vec52));

On a donc un problème de signe

>

Définir la bonne fonction de normalisation

La fonction de normalisation doit donner 1 comme valeur de plus grand module, et pas seulement un nombre de module 1

> major:= proc(vec) local tri, liste ;
tri:= (a,b) -> evalb( evalf(abs(a)) > evalf(abs(b)) );
convert(vec, list); liste:= sort(%, tri);
return liste[1] ;
end ;

> iter_mc := proc (v1) ; mc.v1; return %/major(%) ; end;

On fait en sorte que la valeur propre devienne dominante

> mc:= 1/(ma-20);

> vec50:= (iter_mc@@50)(v0); vec51:= iter_mc(%);

Et on transforme en sens inverse (ne pas oublier !!!)

> major(mc . vec51); 20 + 1/%;

> fso;

>

Et pour une matrice quelconque

>

> mm:= RandomMatrix(4,4) + I*RandomMatrix(4,4) ;

> v0:= RandomVector(4) + I* RandomVector(4)*1.;

> CharacteristicPolynomial(mm, x): poly:= sort(collect(%, x));

> fso:= fsolve(poly, x, complex);

> iter_mp := proc (v1) ; mp.v1; return %/major(%) ; end;

On fait en sorte que la valeur propre devienne dominante

> mp:= 1/(mm-100*I) : evalf(%, 5);

> vec50:= (iter_mp@@50)(v0); vec51:= iter_mp(%); Norm(vec51-vec50 );

Et on transforme en sens inverse (ne pas oublier !!!)

> major(mp . vec51); lambda:= 100*I + 1/%;

On vérifie en reportant

> subs(x=lambda, poly);

>

Matrice associée à un polynôme

Attention : polynôme unitaire uniquement

> poly:= x^4+randpoly(x, degree=3);

> cm:= CompanionMatrix(poly);

> CharacteristicPolynomial(cm, x) ;

>