TP 03

Date: 20 Novembre 2006

On cherche à illustrer la convergence d'une suite vers sa limite.

1 Points fixes de la fonction

1. Pour créer une fonction, il est recommandé de commencer par écrire , puis à en abstraire par la commande unapply.
2. Tracer le graphe de cette fonction.
3. Déterminer les solutions de l'équation .
4. En mathématiques, on distingue le "nombre dérivé en un point", qui est un nombre, et la "fonction dérivée", qui est une fonction. Avec Maple, on a également deux façons de faire :

   diff(f(z), z) D(f)(z)

   Si l'on veut la dérivée en 0, il faut adopter l'une des deux écritures :

   subs(z=0, diff(f(z), z)) D(f)(0)

5. Calculer et . Mettre en forme le résultat (rationalize).
6. Constater que ces deux nombres sont inverses l'un de l'autre. Expliquer.

2 Tracé de l'escargot

On veut visualiser la suite définie par une valeur initiale et la récurrence .

1. Les points sont sur la courbe. La commande pointplot permet de tracer une ligne brisée reliant une liste de points.
2. Pour transformer l'ordonnée en une abscisse, on introduit le point qui est sur la première bissectrice des axes.
3. En fait, la commande pointplot accepte non seulement une liste de couples, mais une liste de coordonnées mises bout à bout. En pareil cas, et apparaissent trois fois, et tous les autres quatre fois. Utiliser l'opérateur et la commande seq pour fabriquer la ligne brisée ad hoc.
4. Finir le dessin en superposant la courbe, l'escargot et la bissectrice.

3 Preuve de la convergence

1. Définir par . Trouver la fonction réciproque définie par .
2. Quel est le transmuté de par ? Comparer avec 1.5. Expliquer.