Ensait - E1 - Maths. Assistées par Ordinateur

Date: Évaluation du 13/12/2004 - durée 2h00

tous documents autorisés

Descriptif du travail demandé

1. Chaque étudiant travaillera de façon isolée (avec le libre accès à ses propres documents). Les feuilles de calcul qui auraient été réalisées en binôme lors d'une séance de TP devront avoir été dupliquées dans les répertoires personnels des étudiants concernés.
2. Le compte-rendu se composera de :
   1. Un compte-rendu expérimental, sous forme d'un listing imprimé et paginé, contenant les procédures, les graphes et les calculs.
   2. Un compte-rendu mathématique, manuscrit ou imprimé, mettant en valeur les résultats obtenus et les méthodes utilisées.
   3. Le document complet sera agrafé et paginé. Vu les lenteurs des imprimantes mises à disposition, imprimer une page par feuille.
3. Une bonne gestion du temps fait partie des compétences évaluées. Prévoir le temps nécessaire pour les impressions. Faire un essai d'impression dès la première heure. Ne pas oublier les sauvegardes en cours de travail.
4. Il va de soi que tous les problèmes de compte informatique (mots de passe, comptes périmés ou autres problèmes) devront avoir été résolus largement avant l'évaluation.
5. L'attention des étudiants est attirée sur le fait que le trafic réseau de leur ordinateur est susceptible d'être enregistré pendant la durée de l'évaluation.

1 Données statistiques et visualisation

1. Vérifier que les bibliothèques pldx et simul sont chargées sur l'ordinateur et que les numéros de version sont
   
   Définir la commande chargée de tracer les histogrammes par macro(histo=xhisto). Ne pas utiliser macro(histo=stats[statplots, histogram]).
2. Faire ce qu'il faut pour transférer les données contenues dans le fichier
   http://www.douillet.info/~douillet/maotp/maotp_ds10/dat_maotp_ds10x.txt
   vers un objet de type liste. Les données étaient différentes pour les deux groupes. Elles sont actuellement accessibles sous les noms dat_maotp_ds10a.txt et dat_maotp_ds10b.txt. Un exemple de mise en oeuvre des méthodes indiquées en TP est disponible à l'adresse : http://www.douillet.info/~douillet/maotp/maotp_ds10/maotp_ds10_.html.
3. Déterminer l'effectif , le domaine de valeurs , la valeur moyenne et la variance de cette liste de données.
   1. On trouve , , et .
   2. On trouve , , et .
4. Déterminer "à vue" quel est le nombre de barres donnant le "meilleur histogramme possible". On tracera les trois histogrammes histo(li2, area=1, numbars=x) avec , , et "au mieux". Justifier votre choix. Il faut à la fois avoir "assez de barres" pour donner l'impression d'une courbe régulière et avoir "assez de points" par barre pour que la fréquence soit correctement estimée. Pour le cas traité, numbars=40 convient.
5. Faire apparaître moyenne et écart-type sur le meilleur histogramme. L'une des questions à résoudre est celle de la hauteur des traits.

2 Modèle lognormal

1. Déterminer les paramètres et de la loi lognormale la plus susceptible de "coller" avec les données. Utiliser à cet effet les formules
   http://www.douillet.info/~douillet/cours/stats/node12.html. On estime les paramètres de la population par ceux de l'échantillon et on applique les formules données en référence.
   
   1. On trouve et .
   2. On trouve et .
2. Superposer la courbe de cette loi lognormale sur l'histogramme. On utilise la formule indiquée (cette formule exprime le fait que suit une distribution "normale" avec les paramètres et ). On a donc :
   
   
   

3 Loi "en masse"

1. Appliquer la procédure newcode:= unapply(Weight(z,z/m), z);
   à chacun des objets composant . Dresser l'histogramme de l'objet ainsi obtenu. Un minimum de bon sens conduisait à ne pas afficher cet objet (et encore moins à l'imprimer). Donc :
   li3 := map( newcode, li2 ) :
2. Expliquer quelle est l'action de newcode. Pourquoi divise-t-on par ? Cette procédure change les poids (Weight) relatifs des différents objets. Dans le nouvel objet, les valeurs les plus fortes vont compter plus. La division par a pour objectif de ne pas changer le poids total de la distribution. Autrement dit, les commandes nmb(li2) et nmb(li3) donnent la même chose.
3. Calculer moyenne et variance de la nouvelle distribution. Examiner si les formules générales liant loi en nombre et loi en masse se vérifient sur l'exemple traité. En particulier, remarque-t-on une différence de comportement entre cette procédure newcode et la procédure recode utilisée en TP ?
   1. On trouve , et .
   2. On trouve , et .
   La relation sur les moyennes
   
   est valable pour toute distribution positive. On a donc . Par contre la relation
   
   est particulière à la loi lognormale (exacte). Pour les données utilisées, la vérification n'est que partielle
4. Visualiser et sur l'histogramme . Superposer la courbe de la loi lognormale correspondante. On obtient un bon accord en utilisant les paramètres et (en tout cas bien meilleur à ce que donnerait l'emploi de ).

4 Histogrammes complémentaires

1. On définit la procédure suivante :
   macro(ran= stats[describe, range], nmb= stats[describe, count]);  
   cut:= proc(li, num);  
   stats[transform, split[num]](stats[transform, statsort](li)):  
   map(z-> Weight(ran(z), nmb(z)), %);  
   end;
2. On définit les objets tal2:= cut(li2, 20) ; tal3:= cut(li3, 20);
   Dresser les histogrammes de ces deux objets. Comparer avec les histogrammes obtenus respectivement en 2.2 et 3.4. On obtient des classes ayant toutes le même effectif (ici ).
3. Que remarquez-vous concernant les partitions obtenues à la question précédente ? Avez-vous une amélioration à proposer ? Les classes ne sont pas jointives. Il faudrait prendre comme frontières la moyenne entre le 50ème et le 51ème élément, pûis la moyenne entre le 100ème et le 101ème, etc.
4. Utiliser la fonction de répartition de la loi lognormale pour déterminer l'histogramme associé à la loi et à la partition associée à tal3.