Ensait - E1 - Maths. Assistées par Ordinateur

Évaluation du 10/01/2007 - 08h00 et 10h15

tous documents autorisés

Descriptif du travail demandé

1. Chaque étudiant travaille de façon isolée (avec le libre accès à ses propres documents). Vérifier que les bibliothèques pldx et simul sont chargées sur l'ordinateur et que les numéros de version sont
   
   $$pldx\ge29 ; simul\ge21$$
   
   

2. Le travail à fournir se compose de :
   1. Un compte-rendu expérimental, sous forme d'un listing imprimé et paginé, contenant les procédures, les graphes et les calculs.
   2. Un compte-rendu mathématique, manuscrit ou imprimé, mettant en valeur les résultats obtenus et les méthodes utilisées.
   3. Le document complet sera agrafé et paginé. Impression : deux pages par feuille.
3. Une bonne gestion du temps fait partie des compétences évaluées. Prévoir le temps nécessaire pour les impressions. Faire un essai d'impression dès la première heure. Ne pas oublier les sauvegardes en cours de travail.
4. Il va de soi que tous les problèmes de compte informatique (mots de passe, comptes périmés ou autres problèmes) devront avoir été résolus largement avant l'évaluation.
5. L'attention des étudiants est attirée sur le fait que le trafic réseau de leur ordinateur est susceptible d'être enregistré pendant la durée de l'évaluation.

Comme indiqué ci-dessus, un commentaire écrit, séparé des calculs, était attendu pour expliciter les points délicats. Pour ce qui est des calculs, on se reportera à http://www.douillet.info/~douillet/maotp/maotp_ds17/maotp_ds17_.html.

1 Itérations de la fonction homographique

${\displaystyle {{f : x\rightarrow f\left(x\right)=\frac{-7 z+351.9}{90 z+47}}}}$

${\displaystyle {{f : x\rightarrow f\left(x\right)=\frac{-5.5 z+183.6}{45 z+26}}}}$

1. Écrire cette fonction sous Maple et tracer son graphe.
2. Déterminer les solutions $\alpha,$ $\beta$ de l'équation $f\left(z\right)=z$. Calculer $f'\left(\alpha\right)$ et $f'\left(\beta\right)$.
   • On retrouve $\alpha, \beta$ à l'intersection de la courbe et de la première bissectrice.
   • On vérifie que $f'\left(\alpha\right)\times f'\left(\beta\right)=1$.
3. On pose $x_{0}=-2.7$ et on définit les $x_{n}$ par la récurrence $x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)$. Donner les valeurs numériques des $x_{n}$, en poursuivant les calculs jusqu'à ce que $\left\vert x_{n}-x_{n-1}\right\vert<0.01$.
   • On a le choix entre définir $n$ a priori et vérifier que $\left\vert x_{n}-x_{n-1}\right\vert<0.01$ et calculer les $x_{j}$ avec une boucle, en prenant $\left\vert x_{j}-x_{j-1}\right\vert<0.01$ comme test d'arret..
4. Donner une représentation graphique de ces calculs et vérifier que la suite "converge en escargot" (cf TP 03). Tracer cet escargot dans une couleur qui passe à l'imprimante (magenta).
5. Que se passerait-il si l'on partait d'un autre point $x_{0}$ ?
   • Dès que l'on ne part pas d'un point fixe, on obtient une suite convergeant vers le point fixe attractif.

2 Colonnes propres de la matrice

${\displaystyle {A=\left(\begin{array}{cc} -7 & 351.9\\ 90 & 47\end{array}\right)}}$

${\displaystyle {A=\left(\begin{array}{cc} -5.5 & 183.6\\ 45 & 26\end{array}\right)}}$

1. Écrire cette matrice sous Maple. En déterminer les valeurs propres et les colonnes propres (cf TP 02).
   • Eigenvectors donne tout cela.
2. Quel est le lien entre les colonnes propres de $A$ et la question précédente ?
   • A chaque colonne propre de $A$ correspond un point fixe de $f$. En effet :
     
     $$\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d\end{array}\right)\lef... ...ht)=\left(\begin{array}{c} a z+b\\ c z+d\end{array}\right)$$
     
     

3 Série temporelle

1. Télécharger le fichier http://www.douillet.info/~douillet/maotp/maotp_ds17/dat_maotp_ds17a.txt ou le fichier http://www.douillet.info/~douillet/maotp/maotp_ds17/dat_maotp_ds17b.txt vers votre espace personnel.
2. Récupérer les données contenues dans ce fichier et les stocker dans une liste (attention à conserver l'ordre des données).
3. Déterminer le nombre, la moyenne, l'écart-type et l'intervalle de variation des données.
4. Représenter graphiquement la série temporelle (en abscisse : le numéro d'ordre). Visualiser moyenne et écart-type.
5. On constate que les données contiennent une composante périodique. Calculer la transformée de Fourier des données (cf TP07). Représentation graphique. Détermination de la période $T$.
   • Vu la taille des données, il est indispensable d'utiliser la méthode d'accélération indiquée en TP (passage en modulo n et option remember).
6. Détermination numérique de la partie périodique (variations saisonnières). Représentation graphique.