Quelle est la masse de Pi ?

$\mathbb {R}$ est à vendre. Le prix de chaque segment $\left[ n,\, n+1\right]$ est de 1 F. Le prix de $\left[ n,\, n+\frac{1}{2}\right]$ est de 25 c et celui de $\left[ n+\frac{1}{2},\, n+1\right]$ est de 75 c. Et ainsi de suite en coupant chaque segment en deux : le prix de la première moitié est le quart du tout et la deuxième moitié les trois quarts.

Question : quel est le prix de $\left[ 0,\, \pi \right]$ ? Questions intermédiaires :

2. Reformulation

2.1 Une fonction fractale

Convenons de noter $\mu \left[ a,\, b\right]$ la mesure du segment $\left[ a,\, b\right]$ , écriture qui me parait plus lisible que $\mu \left( \left[ a,\, b\right] \right)$ . La mesure proposée dans la question possède deux propriétés qui ne cohabitent pas aisément. D'une part, on a $\mu \left[ a+n,\, b+n\right] =\mu \left[ a,\, b\right]$ (pour $n\in \mathbb {N}$ ), exprimant la translatabilité la mesure usuelle de $\mathbb {R}$ (celle de Borel). Et d'autre part, on a $\mu \left[ 0,\, 2x\right] =4\mu \left[ 0,\, x\right]$ (pour $0\leq x\leq 0.5$ ), exprimant la propriété clef de la mesure à étudier.

Il me semble donc préférable d'étudier une autre mesure, choisie pour coïncider avec la première sur $\left[ 0,\, 1\right]$ et pour généraliser la propriété clef à toute la droite réelle. La mesure ainsi obtenue aura donc une certaine invariance d'échelle, c'est à dire une nature fractale.

2.2 Définition sur les écritures binaires finies

Dans ce qui suit, $m$ est un élément générique de $\mathbb {N}$ . Définissons $a_{0}\left( 0\right) =0$ et $a_{0}\left( m+1\right) =2^{m}$ . L'ensemble $\mathbb {A}_{0}\doteq \left\{ a_{0}\left( m\right) ,\, m\in \mathbb {N}\right\}$ est donc l'ensemble des puissances de $2$ , énuméré dans l'ordre usuel des entiers. Posons $p\left( 0\right) =0$ et $p\left( 2^{m}\right) =4^{m}$ . Il est clair que, sur $\mathbb {A}_{0}$ , cette fonction est croissante et vérifie $p\left( 2x\right) =4p\left( x\right)$ .

Définissons alors $a_{1}\left( 2m\right) =a_{0}\left( m\right)$ et $a_{1}\left( 2m+1\right) =\frac{1}{2}\left( a_{0}\left( m\right) +a_{0}\left( m+1\right) \right)$ . On obtient une énumération croissante de l'ensemble $\mathbb {A}_{1}\doteq \left\{ a_{1}\left( m\right) ,\, m\in \mathbb {N}\right\}$ . Posons $p\left( a_{1}\left( 2m+1\right) \right) =\frac{1}{4}\left( 3p\left( a_{0}\left( m\right) \right) +p\left( a_{0}\left( m+1\right) \right) \right)$ . On obtient ainsi une fonction $\mathbb {A}_{1}\hookrightarrow \mathbb {R}$ qui est visiblement croissante, et qui vérifie de plus $x\in \mathbb {A}_{1}\, \Rightarrow \, 2x\in \mathbb {A}_{1}$ et $p\left( 2x\right) =4p\left( x\right)$ .

La récurrence est claire. L'ensemble $\mathbb {A}=\bigcup \mathbb {A}_{j}$ est l'ensemble des réels positifs ayant une écriture binaire finie, et l'on a obtenu une fonction croissante $\mathbb {A}\hookrightarrow \mathbb {R}$ vérifiant $\forall x\in \mathbb {A}\, :\, p\left( 2x\right) =4p\left( x\right)$ .

2.3 Propriétés sur les entiers

$\displaystyle p\left( 2n\right)$	$\textstyle =$	$\displaystyle 4p\left( n\right)$	(1)
$\displaystyle p\left( 2n+1\right)$	$\textstyle =$	$\displaystyle 3p\left( n\right) +p\left( n+1\right)$

On en déduit un (premier) algorithme logarithmique pour le calcul de $p\left( n\right)$ . Ainsi :

$\begin{displaymath} p\left( 29\right) =3p\left( 14\right) +p\left( 15\right) =15... ...p\left( 1\right) +121p\left( 2\right) =619p\left( 1\right) =619\end{displaymath}$

Utilisant cette formule (1), il vient $p\left( 2n+1\right) -p\left( 2n\right) =p\left( n+1\right) -p\left( n\right)$ et $p\left( 2n+2\right) -p\left( 2n+1\right) =3\left( p\left( n+1\right) -p\left( n\right) \right)$ . On obtient alors la seconde formule fondamentale :

$\begin{displaymath} p\left( n+1\right) -p\left( n\right) =3^{\psi \left( n\right) } \end{displaymath}$

(2)

dans laquelle $\psi \left( x\right)$ désigne la somme des chiffres binaires du nombre $x\in \aa$ . On a donc $p\left( 2n+1\right) =4p\left( n \right) +3^{\psi \left( n \right) }$ conduisant à un deuxième algorithme de calcul de $p\left( n\right)$ :

$\begin{eqnarray*} p\left( 29\right) & = & 4p\left( 14\right) +3^{\psi \left( 14\... ...ft( 14\right) }=256\times 1+64\times 3+16\times 9+1\times 27=619 \end{eqnarray*}$

Autrement dit, un chiffre binaire non nul donné, valant $2^{p}$ dans l'écriture du nombre entier $n$ , est remplacé par $4^{p}$ puis multiplié par une puissance de $3$ . L'exposant de cette puissance est le nombre de $1$ se trouvant encore plus à gauche que le $1$ considéré.

$\begin{displaymath} p\left( \frac{2n+1}{2^{d}}\right) =p\left( \frac{2n}{2^{d}}\right) +\frac{1}{4^{d}}3^{\psi \left( n\right) } \end{displaymath}$

(3)

Il semble donc qu'il y a eu une inversion entre $\frac{1}{4}$ et $\frac{3}{4}$ dans l'énoncé original.

2.4 Prolongement par continuité en un homéomorphisme $\mathbb {R}^{+}\hookrightarrow \mathbb {R}^{+}\protect$

Comme $\aa$ est dense dans $\mathbb {R}^{+}$ et $p$ strictement croissante, on peut définir pour tout $x\in \left] 0,\, \infty \right[$ une fonction $p_{g}\left( x\right) =\sup \left\{ p\left( a\right) \, \left/ \, a\in \aa \, \, a<x\right. \right\}$ et une fonction $p_{d}\left( x\right) =\inf \left\{ p\left( a\right) \, \left/ \, a\in \aa \, \, a>x\right. \right\}$ .

Considérons la subdivision équidistante $\frac{k}{2^{d}}$ ( $d$ fixé, $0\leq k\leq 2^{d}$ ) du segment $\left[ 0,\, 1\right]$ . Entre deux points voisins de cette subdivision, le saut de $p$ est au plus $\left( 3/4\right) ^{d}$ , cette valeur n'étant atteinte que sur le dernier segment élémentaire. Par croissance de la fonction, il suffit donc de supposer que $x,\, y\in \left[ 0,\, 1/2 \right] \cap \aa$ et $\left\vert x-y\right\vert \leq \left( 1/2\right) ^{d}$ pour avoir $\left\vert p\left( x\right) -p\left( y\right) \right\vert \leq \left( 3/4\right) ^{d}$ .

On a donc prouvé que pour tout $x\in \mathbb {R},\, 0<x\leq 1/2$ on a $p_{g}\left( x\right) =p_{d}\left( x\right)$ . Par homothétie, on a $\forall x\in \mathbb {R}^{+}\, :\, p_{g}\left( x\right) =p_{d}\left( x\right)$ . Par conséquent, la fonction $p\, :\, \aa \hookrightarrow \mathbb {R}^{+}$ se prolonge en une fonction continue $p\, :\, \mathbb {R}^{+}\hookrightarrow \mathbb {R}^{+}$ , et il est clair que cette fonction est strictement croissante : on obtient un homéomorphisme.

3. Propriétés remarquables

3.1 Image d'un rationnel

On sait qu'un rationnel se caractérise par le fait que son développement (binaire) est périodique. Convenons d'utiliser le signe $\%$ pour introduire une écriture binaire. Ainsi $\frac{2}{3}=\frac{\%10}{\%11}=\%0.10101010\dots$ . On en déduit que $\frac{2}{3}=\frac{2}{4}+\frac{2}{16}+\frac{2}{64}\dots$ . Avec la relation (3) on obtient $p\left( \frac{2}{3}\right) =p\left( \frac{2}{4}\right) \left( 1+\frac{3}{16}+\frac{3^{2}}{16^{2}}+\dots \right)$ , soit $p\left( \frac{2}{3}\right) =\frac{p\left( 2\right) }{4^{2}-3^{\psi \left( 2\right) }}=\frac{4}{16-3}=\frac{4}{13}$ . Plus généralement, un rationnel dont l'écriture binaire est directement périodique, avec une période de longueur $d$ , codant pour le nombre entier $n<2^{d}$ vérifie la formule :

$\begin{displaymath} p\left( \frac{n}{2^{d}-1}\right) =\frac{p\left( n\right) }{4^{d}-3^{\psi \left( n\right) }}\end{displaymath}$

Lorsque la période est précédée par une partie apériodique, il convient d'utiliser :

$\displaystyle p\left( \frac{a}{2^{\delta }}+\frac{1}{2^{\delta }}\frac{n}{2^{d}-1}\right)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{p\left( a\right) }{4^{\delta }}+\frac{3^{\psi \left( a\right) }}{4^{\delta }}\frac{p\left( n\right) }{4^{d}-3^{\psi \left( n\right) }}$	(4)
$\displaystyle n<2^{d}$

Ainsi $p\left( \frac{27}{14}\right) =\frac{637}{220}$ parce que $\frac{27}{14}=\frac{7}{4}+\frac{1}{4}\frac{5}{7}$ , soit $a=7$ , $\delta =2$ , $n=5$ , $d=3$ à reporter dans la formule. Il vient $\frac{p\left( 7\right) }{16}+\frac{3^{3}}{16}\frac{p\left( 5\right) }{64-3^{2}}=\frac{37}{16}+\frac{27}{16}\frac{19}{55}=\frac{637}{220}$ .

3.2 Image réciproque d'un rationnel

Se pose alors la question de l'image réciproque d'un rationnel. Un algorithme dichotomique permet aisément de trouver une valeur approchée du $x$ associé à un $p\left( x\right)$ donné. Une exploration numérique exhaustive pour les fractions $p\left( x\right) =\frac{a}{b}$ avec $0<a<b<128$ donne les résultats suivants :

$x$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{1}{4}$

$\frac{3}{4}$

$\frac{1}{6}$

$\frac{5}{6}$

$\frac{3}{7}$

$\frac{5}{7}$

$\frac{6}{7}$

$\frac{1}{7}$

$\frac{2}{7}$

$\frac{4}{7}$

$\frac{1}{8}$

$\frac{3}{8}$

$\frac{5}{8}$

$\frac{7}{8}$

$p\left( x\right)$

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{13}$

$\frac{4}{13}$

$\frac{1}{16}$

$\frac{7}{16}$

$\frac{1}{52}$

$\frac{25}{52}$

$\frac{7}{55}$

$\frac{19}{55}$

$\frac{28}{55}$

$\frac{1}{61}$

$\frac{4}{61}$

$\frac{16}{61}$

$\frac{1}{64}$

$\frac{7}{64}$

$\frac{19}{64}$

$\frac{37}{64}$

On voit, comme prévisible, apparaître les rationnels $p\left( x\right)$ dont les dénominateurs sont de la forme $4^{\delta }\left( 4^{d}-3^{\psi }\right)$ , et la liste des $x$ obtenus n'est autre que la liste des fractions de petits dénominateurs ( $x=\frac{1}{5}$ n'est pas encore apparue, car $p\left( x\right) =\frac{7}{247}$ ). Ce qui est remarquable est le point suivant : au cas où une autre fraction $p\left( x\right) =\frac{a}{b}$ serait l'antécédent d'un rationnel $\frac{\alpha }{\beta }$ , on aurait $\beta >10^{10}$ . Une recherche complémentaire, utilisant l'algorithme pslq, montre que, au cas où l'un des autres antécédents serait algébrique d'ordre 2, la taille des coefficients du polynôme associé serait supérieure à $10^{8}$ .

3.3 Formules pour le taux de variation

Soit $t$ un réel donné. Pour $b\in \mathbb {N}$ , posons $\varphi \left( b\right) \doteq \psi \left( floor\left( x\, 2^{b}\right) \right)$ . Le quotient $\frac{\varphi \left( b\right) }{b}$ exprime la proportion de chiffres 1 dans l'écriture binaire de $x$ (tronquée à la $b$ -ième place après la virgule). Nous avons l'intention de montrer que $\rho \left( \Delta t\right) =\frac{\Delta p}{\Delta t}$ tend vers $0$ lorsque $\lim \sup \frac{\varphi \left( b\right) }{b}<\frac{\ln 2}{\ln 3}\approx 0.63$ et vers $+\infty$ lorsque $\lim \inf \frac{\varphi \left( b\right) }{b}>\frac{\ln 2}{\ln 3}$ . Pour les $x\in \mathbb {A}$ , il faut tenir compte des deux écritures possibles pour ces nombres, et cela donne $0$ comme dérivée à droite et $+\infty$ comme dérivée à gauche.

Pour établir cela, il suffit de considérer des $\Delta t$ de la forme $\frac{1}{2^{b}}$ . En effet, tout $\Delta t$ est compris dans un segment $\left[ \frac{1}{2^{b+1}},\, \frac{1}{2^{b}}\right]$ et l'on a $\frac{1}{2}\rho \left( \frac{1}{2^{b+1}}\right) \leq \rho \left( \Delta t\right) \leq \frac{1}{2}\rho \left( \frac{1}{2^{b}}\right)$ puisque $p$ est croissante.

Commençons par examiner l'ajout d'un 1 à la $b$ -ième place lorsque cette place contenait un 0. On a donc $t=\frac{a}{2^{b-1}}+\frac{\alpha }{2^{b}}$ avec $a\in \mathbb {N}$ et $\alpha <1$ . Posant $p\left( \alpha \right) =\beta$ , il vient $p\left( t\right) =\frac{p\left( a\right) }{4^{b-1}}+\frac{3^{\psi \left( a\right) }}{4^{b}}\beta$ et $p\left( t+\frac{1}{2^{n}}\right) =\frac{p\left( a\right) }{4^{b-1}}+\frac{3^{\psi \left( a\right) }}{4^{b}}+3\frac{3^{\psi \left( a\right) }}{4^{b}}\beta$ . On a donc :

$\begin{displaymath} TV_{0}=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\left( 1+2\beta \right) \frac{3^{\varphi \left( b\right) }}{2^{b}}\end{displaymath}$

Examinons maintenant l'ajout d'un 1 à la $\left( b+n\right)$ -ième place lorsque la $b$ -ième place contient un 0 et est suivie par $n$ chiffres 1 consécutifs. On a donc $t=\frac{a}{2^{b-1}}+\frac{2^{n}-1}{2^{b+n}}+\frac{\gamma }{2^{b+n}}$ avec $a\in \mathbb {N}$ et $0\leq \gamma <1$ . Posant $\delta =p\left( \gamma \right)$ , il vient : $p\left( t\right) =\frac{p\left( a\right) }{4^{b-1}}+\frac{3^{\psi \left( a\ri... ...frac{3^{\psi \left( a\right) }3^{\psi \left( 2^{n}-1\right) }}{4^{b+n}}\delta$ et $p\left( t+\frac{1}{2^{b+n}}\right) =\frac{p\left( a\right) }{4^{b-1}}+\frac{3... ...rac{3^{\psi \left( a\right) }\, 3^{\psi \left( 2^{n}\right) }}{4^{b+n}}\delta$

Utilisant les formules $\psi \left( 2^{n}\right) =1,\, p\left( 2^{n}\right) =4^{n},\, \psi \left( 2^{n}-1\right) =n,\, p\left( 2^{n}-1\right) =4^{n}-3^{n}$ , on obtient un taux de variation égal à

$\begin{displaymath} TV_{1}=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\left( 1-\beta +\frac{3}{3^{n}}\beta \right) \frac{3^{\varphi \left( b+n\right) }}{2^{b+n}}\end{displaymath}$

le premier facteur étant compris entre $\frac{3}{4}$ et $1$ . A titre d'illustration, prenons $t=\frac{647}{192}\approx 11.01011110$ . On a $p\left( t\right) =\frac{418591}{53248}$ . Un ajout d'un chiffre 1 aux places 4, 5, 6 ou 7 conduit aux valeurs $\frac{81}{16},\, \frac{4293}{832},\, \frac{6885}{832},\, \frac{2025}{128}$ pour $\frac{\Delta p}{\Delta t}$ . Ces valeurs vont en croissant (de $\approx 5$ à $\approx 16$ ) le deuxième facteur s'augmentant d'un nouveau $\frac{3}{2}$ à chaque fois.

3.4 Dérivation

En résumé, nous avons montré que les valeurs de $\rho \left( \frac{1}{2^{b}}\right)$ contrôlent les valeurs de $\rho \left( \Delta t\right)$ , puis que $\rho \left( \frac{1}{2^{b}}\right) =\frac{3^{\varphi \left( b\right) }}{2^{b}}\times \mu$ avec $1\leq \mu \leq 3$ lorsque le $b$ -ième chiffre est 0, et avec $0\leq \mu \leq 1$ lorsque ce $b$ -ième chiffre est 1. Ceci montre que la dérivée à droite est nulle lorsque $\lim \sup \frac{\varphi \left( b\right) }{b}<\frac{\ln 2}{\ln 3}$ et infinie lorsque $\lim \inf \frac{\varphi \left( b\right) }{b}>\frac{\ln 2}{\ln 3}$ .

Si l'on suppose $\lim \frac{\varphi \left( b\right) }{b}=\frac{\ln 2}{\ln 3}$ , il y a nécessairement des groupes de plusieurs chiffres 1 terminés par un 0 et ... c'est pas fini.

Pour la dérivation à gauche, on a exactement les mêmes résultats, à condition d'utiliser l'écriture ``avec des 1'' pour les éléments de $\mathbb{A}$ .