1 Introduction

1.1 L.G. Vidiani (Fri, 19 Jul 2002)

L'exercice 328 de la rms a pour énoncé :
Soit (P) la parabole $y^{2}=2\, p\, x$, $p>0$. On se donne $M\left( x,\, 0\right)$ avec $x\geq 0$. Montrer qu'il existe un unique point $M'\left( x',\, 0\right)$ avec $x'>x$ tel que le carré de diagonale $\left[ M,\, M'\right]$ ait ses deux autres sommets sur la parabole. Expliciter $f\, :\, x\mapsto x'$. Soit alors $x_{0}\geq 0$. On pose $x_{n+1}=f\left( x_{n}\right)$. Montrer que $x_{n}$ tend vers $+\infty$ et donner un développement asymptasymtpotiqueotique à deux termes de $x_{n}$.

On trouve $f\left( x\right) =x+2\, p+2\, \sqrt{2\, p\, x+p^{2}}$ et que $x_{n}=2\, p\, n^{2}+\mathbf{O}\left( n\right)$. Questions :

1. Comment avoir quelques termes suivants du DA ?
2. Maple semble échouer : comment le rendre opérant ?
   rsolve(u(n+1)=2*p+u(n)+2*sqrt(2*p*u(n)+p2),u(n)); DA=asympt(%,n,2);

1.2 L.G. Vidiani (Fri, 16 Aug 2002)

Remarque stratosphérique de Douillet du 26 juillet : "Les autres sommets sont sur la parabole. Leurs ordonnées sont en progression arithmétique. Et voilà, c'est fini".

J'ignore si cette propriété est "évidente" ou connue, j'ai recherché dans les problèmes d'agregationd'agreg des années 30, et suivantes (Dollon, Ballicionni, Michel, Duporq, Deltheil et Caire, ..., livres de TC ), ou dans les livres de géométrie de Brocard et Lemoyne, ou les cours sur les coniques des TC d'il y a 40 ans. Je n'ai rien trouvé : peut être dans un Putnam (non 1938-2001) ou une olympiade ?

Je propose que cette propriété soit appelée "théorème de Douillet".

Bibliographie : outre les livres ci dessus, rien dans Potron, Julia, Cagnac, Ramis ; On peut chercher aussi dans les applications géométriques des intégrales abéliennes aux courbes algébriques (voir Valiron II) ; Google ne donne rien pour "progression parabole"

1.3 Isabelle Selon (Sat, 17 Aug 2002)

Attention, peut-être n'est-ce-pas le premier, ni le dernier théorème de Douillet... Je propose le grand théorème de Douillet!

1.4 Claude Morin Limoges (Mon, 19 Aug 2002)

Si l'on remplace les carrés de l'exercice 328 par des cercles, les rayons de ces cercles forment une suite géométrique de raison $2p$ (les cercles sont centrés sur l'axe de la parabole, tangents à celle-ci et deux cercles consécutifs sont tangents). En effet, si l'un des cercles a pour rayon $R$ et pour centre $\left( a,\, 0\right)$, le cercle est tangent à la parabole d'équation $y^{2}=2\, p\, x$ si et seulement si $2\, a\, p=p^{2}+R^{2}$ et $a\geq p$ (on étudie l'intersection et on écrit que l'équation en $x$ a une solution double). Donc pour 2 cercles consécutifs: $2\, p\left( a_{2}-a_{1}\right) =R_{2}^{2}-R_{1}^{2}$. Or $a_{2}-a_{1}=R_{1}+R_{2}$ (les cercles sont tangents); on a donc $R_{2}-R_{1}=2\, p$. Je ne sais pas mettre en rapport cette propriété avec le "théorème de Douillet".

En complément, si on effectue la transformation définie par $x'=x/t^{2}$ et $y'=y/t$, la parabole garde la même équation, les carrés deviennent des losanges et les cercles des ellipses; la propriété de suite arithmétique s'applique donc aux diagonales des losanges (homothétiques) et aux axes des ellipses (homothétiques).