2 Cercles bitangents à une parabole

2.1 Formule générale

Cherchons quels sont les cercles

$$\left( \Gamma \right) \, :\, \left( x-a\right) ^{2}+\left( x-b\right) ^{2}-r^{2}$$

bitangents à la parabole

$$\left( P\right) \, :\, y^{2}=2\, p\, x$$

L'équation aux ordonnées $Q\left( y\right) \doteq \left( y^{2}/2p-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}-r^{2}=0$, ayant deux racines doubles, s'écrit $Q\left( y\right) =c\, \left( y-\eta _{1}\right) ^{2}\left( y-\eta _{2}\right)$, et comme le coefficient du troisième degré est nul on a $\eta _{1}=-\eta _{2}=\eta$ et $b=0$. Une identification aisée donne

$$\xi =a-p,\, \eta ^{2}=2\, p\, \xi ,\, a=\frac{r^{2}}{2\, p}+\frac{p}{2}$$ (1)

Les centres de ces cercles se placent sur l'axe de symétrie de la parabole.

2.2 Exemple fondamental

Faisons $r=0$ dans (1). Il vient $a=\frac{p}{2}$, et donc le cercle point centré au foyer est bitangent à la parabole aux points $\left( -\frac{p}{2},\, \pm i\, p\right)$. Plus généralement, les rayons $r$ tels que $\left\vert r\right\vert <p$ conduisent à des points de contact dont l'abscisse est négative et l'ordonnée imaginaire.

2.3 Exemple limite

Le cas $\left\vert r\right\vert =p$, c'est à dire le cercle surosculateur, constitue la limite entre les cercles réels "visiblement bitangents" $\left( p<a\right)$ et les cercles réels mais bitangents en des points dont l'ordonnée est imaginaire $\left( \frac{p}{2}<a<p\right)$.