3 Une chaîne de cercles

3.1 Sens de parcours

Considérerons une chaîne de cercles, tangents entre eux deux à deux et tous bitangents à la parabole. Il est tout à fait clair que le problème de construire un cercle $\left( \alpha \, \, 0,\, \rho \right)$ bitangent à la parabole et de plus tangent à un cercle donné $\left( a,\, 0,\, r\right)$, lui-même bitangent à la parabole, comporte deux solutions. Ces deux solutions se distinguent entre elles par le point de contact choisi entre les deux cercles : soit $\left( a+\left\vert r\right\vert ,\, 0\right)$, soit $\left( a-\left\vert r\right\vert ,\, 0\right)$.

Nous allons donc considérer des rayons $r$, certes réels, mais qui seront choisis positifs ou négatifs de telle sorte que le point $\left( a-r,\, 0\right)$ soit le contact avec le cercle précédent et que le point $\left( a+r,\, 0\right)$ soit le contact avec le cercle suivant dans la chaîne des cercles. On voit aisément que

$$a-r=\frac{1}{2\, p}\left( r-p\right) ^{2}\; ;\; a+r=\frac{1}{2\, p}\left( r+p\right) ^{2}$$

Comme il se doit, ces deux formules n'en font qu'une, par changement de $r$ en $-r$, c'est à dire par changement de sens de parcours.

3.2 Équation d'évolution

L'équation de passage d'un cercle au suivant, qui est $a+r=\alpha -\rho$, s'écrit alors $\left( r+p\right) ^{2}=\left( \rho -p\right) ^{2}$ et conduit donc à la progression arithmétique

$$\rho =r+2\, p$$

En effet, l'autre choix de signe conduit à $r+p=p-\rho$, ce qui redonne le même cercle (mais avec l'intention de revenir en arrière dans la chaîne des cercles).

Figure: chaîne de cercles et détails au voisinage du sommet.

La figure 2 a été tracée pour $p=1$ et $r_{0}=-0.6$. La partie gauche représente les cinq cercles $r_{n}=r_{0}+2\, n\, p$ pour $-2\leq n\leq +2$, tandis que la partie droite donne un agrandissement de ce qui se passe au voisinage du sommet. On a donc les formules

$$r = \rho +2\, n\, p$$

$$a = \frac{1}{2p}\left( \rho +2\, n\, p\right) ^{2}+\frac{p}{2}$$

$$\xi = \frac{1}{2p}\left( \rho +2\, n\, p\right) ^{2}-\frac{p}{2}$$

$$\eta ^{2} = \left( \rho +2\, n\, p\right) ^{2}-p^{2}$$

$$a+r = \frac{1}{2p}\left( \rho +2\, n\, p+p\right) ^{2}$$

Autrement dit les ordonnées des "sommets" des cercles, c'est à dire des points $\left( a,\, r\right)$ sont en progression arithmétique, ainsi que les ordonnées des relèvement sur la parabole des contacts de deux cercles adjacents. Et ces deux progressions s'enchevêtrent en une seule progression, de raison $p$.

3.3 Interprétation du cas spécial

La progression arithmétique sur les rayons étant de raison $2\, p$, il y a donc exactement un rayon et un seul dans l'intervalle $\left] -p,\, +p\right[$ et nous pouvons considérer que le cercle correspondant est le cercle initial. Cette remarque ne s'applique pas à la chaîne contenant le cercle surosculateur, qui contient deux exemplaires successifs du cercle initial.

Le cercle initial n'est pas "visiblement bitangent", étant soit surosculateur, soit à contacts ayant une ordonnée imaginaire. On peut donc être tenté de le retirer de la chaîne, d'autant que l'un des deux contacts est un contact intérieur. Mais cela découpe la chaîne initiale (indexée par $\mathbb{Z}$) en deux sous chaînes apparemment indépendantes, ce qui ne nous semble pas être un bon choix.