4 Les carreaux inscrits

4.1 La relation de récurrence de l'exercice 238

Un carreau (carré aux diagonales parallèles aux axes) a pour sommets les points $\left( \alpha \pm r,\, 0\right)$ et $\left( \alpha ,\, \pm r\right)$. On a donc $x=\alpha -r,\, x'=\alpha +r,\, 2\, \alpha \, p=r^{2}$. Une élimination évidente donne :

$$\alpha = x+p\pm \sqrt{2\, p\, x+p^{2}}$$

$$r = p\pm \sqrt{2\, p\, x+p^{2}}$$ (2)

$$x' = x+2\, p\pm 2\, \sqrt{2\, p\, x+p^{2}}$$

Le double signe correspond aux deux sens de parcours possibles. On trouve que la bonne condition sur $x$ est $-\frac{p}{2}\leq x$, moins restrictive que $0\leq x$. On remarquera que pour les $x\in \left[ -p/2,\, 0\right]$, les deux possibilités pour $x'$ se placent à droite de $x$.

4.2 Choisir la bonne variable

Les équations (2) ne sont pas très maniables sous cette forme. Il est en effet préférable de choisir $r$ comme paramètre. Ce choix conduit à des expressions rationnelles, puisque $\alpha =r^{2}/2p$. Il vient $x=r^{2}/2p-r$, $x'=r^{2}/2p+r$. Comme $x'=r'^{2}/2p-r'$, on en conclut que $r'=-r$ (redonnant le même carreau) ou bien que $r'=r+2\, p$. En résumé :

$$\alpha = \frac{r^{2}}{2p}$$

$$x = \frac{r^{2}}{2p}-r$$ (3)

$$r' = r+2\, p$$

4.3 Lien avec les chaînes de cercles

Une simple comparaison montre que ces carreaux ne sont autres que les carreaux inscrits dans chacun des cercles de la chaîne précédente, translatés de $\frac{p}{2}$. En effet, le "carreau inscrit" dans le cercle $\Gamma$ a pour sommets $\left( a\pm r,\, 0\right)$ et $\left( a,\, \pm r\right)$. Si l'on translate tous ces carreaux de $\frac{p}{2}$, les "sommets" deviennent $\left( \frac{1}{2p}\left( \rho +2\, n\, p\right) ^{2},\, \rho +2\, n\, p\right)$ c'est à dire sont situés sur la parabole, en plus d'avoir des ordonnées en progression arithmétique, tandis que les "contacts" deviennent $\left( \frac{1}{2p}\left( \rho +2\, n\, p\right) \left( \rho +2\, n\, p-2\, p\right) ,\, 0\right)$ .

Figure: Chaîne de carreaux inscrits.

4.4 Le cas spécial

La situation du cas spécial est moins intrigante pour les chaînes de carreaux que pour les chaînes de cercles. En effet, le carreau initial a ses deux sommets sur la parabole, comme les autres. Sa seule singularité est d'avoir l'un de ses sommets axiaux à l'extérieur de la parabole, l'enchaînement entre les carreaux se faisant exceptionnellement par un contact intérieur.