5 Transformations

Il est clair qu'un changement d'unité sur les axes transforme la parabole en une parabole, les cercles en ellipses toutes semblables entre elles et les carreaux en losanges tous semblables entre eux. On peut même utiliser la transformation proposée par Claude Morin :

$$x'=\frac{x}{d^{2}}\quad ;\quad y'=\frac{y}{d}$$

qui laisse la parabole (globalement) invariante. On obtient alors des chaînes d'ellipses et de losanges. Il me semble plus naturel de transformer le problème par inversion, de façon à transformer les cercles en cycles (aka droites ou cercles).

5.1 Inversion

Si nous transformons le problème par une inversion centrée au foyer, les propriétés de contact se conservent, la parabole devient une cardioïde tandis que la chaîne de cercles se transforme en une chaîne de cycles. Appelons $\left( z,\, y\right)$ les coordonnées cartésiennes relatives au foyer, c'est à dire écrivons $x=z+p/2$. La formule d'inversion s'écrit alors :

$$\Phi \left( z,\, y\right) =\left( \frac{\tau \, z}{z^{2}+y^{2}},\, \frac{\tau \, y}{z^{2}+y^{2}}\right)$$

En écrivant que $\Phi \left( z,\, y\right)$ vérifie $2\, p\, z+p^{2}=y^{2}$, il vient $y^{4}+2\, z^{3}\, (\tau /p)+z^{4}+\left( 2\, z^{2}+2\, z\, (\tau /p)-\tau ^{2}/p^{2}\right) \, y^{2}=0$, ce qui suggère fortement de choisir la puissance d'inversion égale à $p$. L'image du sommet de la parabole est alors $\left( z=-2,\, y=0\right)$ indépendamment de $p$, et l'image de la parabole est la cardioïde standard :

$$\left( y^{2}+z^{2}+z\right) ^{2}-\left( y^{2}+z^{2}\right) =0$$ (4)

Le cercle $\left( x=a,\, 0,\, r\right)$ est orthogonal à l'axe horizontal et contient les points $\left( x=a\pm r,\, y=0\right)$. Son image a donc pour diamètre les points $\left( z=\frac{p}{a\pm r-p/2},\, y=0\right)$. En substituant la valeur de $a$ issue de (3), on obtient que $\Phi \left( \Gamma \right)$ est le cercle :

$$Z=\frac{2\, p^{2}}{r^{2}-4\, p^{2}},\, Y=0,\, R=\frac{-4\, p^{3}}{r\, \left( r^{2}-4\, p^{2}\right) }$$

Comme il se doit, $Z$ est indépendant du signe de $r$ (c'est à dire du sens de parcours), tandis que $R$ change de signe en même temps que $r$.

5.2 Cycles remarquables

Le cercle point centré au foyer $\left( r=0\right)$ se transforme en le cercle à l'infini (il faudrait passer en projectif complexe et faire une étude détaillée). Le cercle surosculateur, $r=p$, se transforme en le cercle de centre $\left( z=-2/3,\, y=0\right)$ et de rayon $R=-4/3$, c'est à dire ayant $\left[ -2,\, 2/3\right]$ comme diamètre, qui est surosculateur à la cardioïde.

Le cercle $r=2\, p$ a comme centre $a=\frac{r^{2}}{2\, p}+\frac{p}{2}$. Il passe donc par le foyer, et son image est la droite verticale bitangente à la cardioïde (abscisse $z=1/4$).

Entre temps, le rayon $\left\vert R\right\vert$ est passé par une valeur minimale $\left\vert R\right\vert _{min}=\frac{3}{4}\, \sqrt{3}\approx 1.2990$, correspondant à $r=\pm \frac{2}{3}\, \sqrt{3}\, p$. Le cercle surosculateur à la cardioïde n'est donc pas son meilleur cercle circonscrit puisqu'alors $\left\vert R\right\vert =\frac{4}{3}\approx 1.333$ .

Figure: Chaîne de cercles pour la cardioïde.

5.3 Description de la chaîne

On peut donc décrire une chaîne de cercles bitangents à la cardioïde comme étant composée de deux sous suites de cercles "extérieurs", connectés par un cercle "étrange" et un cercle "circonscrit".

Le cercle "étrange" contient la cardioïde dans son intérieur strict. Il lui est bitangent en deux points dont l'ordonnée est imaginaire. Il est l'image du cercle étrange de la chaîne de cercles bitangents à la parabole. Il correspond à $r\in \left] -p,\, +p\right[$ (il y en a un et un seul dans une progression arithmétique de raison $2p$, sauf le cas $r_{0}=p$).

Le cercle "circonscrit" contient la cardioïde dans son intérieur large, et lui est "visiblement bitangent". Il correspond à $r\in \left] -2\, p,\, -p\right[ \cup \left] p,\, 2p\right[$ (il y en a un et un seul dans une progression arithmétique de raison $2p$, sauf les cas $r_{0}\in \left\{ -p,\, 0,\, p\right\}$).

Tous les autres cercles sont mutuellement extérieurs avec la cardioïde.

Dans le cas spécial $r_{0}=0$, les deux sous-chaînes sont connectées par droite, infini, droite. Dans le cas spécial $r_{0}=p$, les deux sous-chaînes sont connectées par surosculateur, surosculateur.