Dans les deux paragraphes précédents, nous avons seulement testé si
les estimations obtenues se trouvaient bien dans dans un intervalle
de confiance, par exemple dans l'intervalle 
,
issu du théorème central limite. Mais nous pouvons mettre en oeuvre
un bien meilleur test en comparant effectivement les courbes théoriques
et les histogrammes donnés figures 1.4 et 1.5.
Décrivons maintenant le test statistique connu sous le nom de "test
du ". On partitionne l'ensemble des résultats
possibles en 
sous ensembles disjoints 
, et l'on considère
un ensemble de 
instanciations de la variable 
. On compare
alors les scores 
obtenus par les ensembles , c'est
à dire le nombre de fois où chacun des événements 
s'est produit, avec les espérances de ces scores. Définissons donc
et posons :
Dans cette formule, l'objectif poursuivi est de faire ressortir les
grands écarts (passage aux carrés) tout en relativisant chaque écart
par un rapport à la valeur attendue. La loi de probabilité d'une valeur
donnée de 
s'appelle "loi du ".
Plus précisément, on peut montrer que, dans les cas où 
,
la probabilité pour que 
est assez correctement approchée
par la formule :
désigne le "nombre de degrés de liberté",
c'est à dire, ici, 
puisque les quantités sont
liées par la relation 
. Si l'on reprend l'histogramme
de la figure 1.4, on aboutit au tableau :
utilisées, la deuxième les scores effectivement atteints
et la troisième ligne les effectifs théoriques, c'est à dire les 
.
On a visiblement 
, et un peu de calcul donne 
.
La "loi du " donne alors 
comme probabilité
de 
: cet histogramme passe le test.
Il en est de même pour les deux histogrammes de la figure 1.5. Pour les moyennes, on obtient le tableau :
Les classes à faibles effectifs ayant été regroupées, le nombre de
degrés de liberté est donc 
, conduisant à 
et 
.
Pour les variances, on obtient :
, 
et 
.