2. Introduction

2.1 Exposé du problème

Quand un système technique n'est pas résoluble analytiquement, une simulation par ordinateur peut néanmoins permettre d'évaluer un paramètre global de , si ce paramètre admet un moment d'ordre 2. Ainsi une certaine probabilité stochastique pourra être estimée, à l'incertitude et au seuil de confiance , par une fréquence temporelle expérimentale avec: .

Appelons le carré du coefficient de variation de lors d'une simulation de taille : . Ce peut être estimé en décomposant la simulation des événements en blocs de événements chacun [3]. Indiçant par les estimateurs obtenus dans le bloc , on a et

Une simulation-pilote de taille , permet alors d'inférer que la précision sera atteinte, au seuil , en

2.2 Simulations préférentielles

La convergence est lente : un temps de calcul cent fois supérieur ne fait gagner qu'une décimale. Par exemple, atteindre au seuil de lorsque , qui demanderait épreuves de Bernoulli, est impraticable.

Une technique d'accélération connue [1] consiste à biaiser la distribution initiale, réduisant la variante de l'estimateur cherché, puis à corriger le biais introduit. Ainsi, pour estimer la probabilité d'un événement , on peut le conditionner par un événement tel que : . Comme , on remplace la simulation de l'événement rare par deux simulations portant sur les événements moins rares et et qui, à elles deux, seront plus rapides que la simulation directe.

Avec l'exemple précédent, utiliser un intermédiaire avec procure un facteur d'accélération de , qui reste pourtant insuffisant pour des probabilités comme les taux d'erreurs dans les réseaux à fibres optiques, où .

2.3 Notre méthode

Pour une chaîne de Markov, nous proposons d'utiliser plusieurs fois cette méthode, avec plusieurs intermédiaires, déterminant plusieurs échelons. Conditionnant par et par , on obtiendra .

Si est un système dont les probabilités des différents états possibles s'échelonnent en divers états de rareté, le choix de ces intermédiaires peut être automatisé de la façon suivante on se fixe une fréquence seuil , et une taille dépassant largement , mais conduisant quand même à une simulation réalisable, que nous appelons échelon 0. On considère alors le sous-système des états dont les fréquences expérimentales sont inférieures à ou qui sont prédécesseurs immédiats de tels états.

On a : pour et . Ces fréquences sont donc des estimateurs acceptables.

On procède alors à une nouvelle simulation (l'échelon 1), concernant uniquement le système . De la même façon, on trouve , et ainsi de suite jusqu'à ce que la probabilité conditionnelle de l'état qui nous intéresse soit supérieure à .

Après cette première étape qui nous a permis de choisir les échelons, nous augmentons, par étapes successives, la taille globale de la simulation (EQ.2) jusqu'à obtenir la précision fixée sur la probabilité cherchée .