5. Validation de la méthode

5.1 Variances

Nous indiquons ci-dessous comment calculer analytiquement les variances des divers estimateurs utilisés :

La relation (EQ.5) est la formule donnant la variance d'un quotient appliquée aux fréquences temporelles , obtenues comme rapport du temps passé dans l'état à la durée totale [5]. La relation (EQ. 6) résulte de ce que la durée est le produit du nombre de visites rendues par leur durée moyenne : , indépendante de . Or, estimé sur un échantillon de taille , on a . Soit enfin la matrice de transition et le vecteur des états, avec

Un peu de calcul mène à (EQ.7), sous l'hypothèse que soit la seule valeur propre unimodulaire de et soit simple.

Table 6: Matrices auxiliaires.

Dans cette formule, qui ressemble à celle de Bernoulli, a toutes ses colonnes égales à la solution stationnaire (EQ.4), et . Ici, la chaîne ``mémorisant'' la parité de l'état initial, est valeur propre de , et (EQ.7) ne s'applique qu'aux matrices exprimant l'action de sur les classes de la relation de parité (cf table 6).

5.2 Validation

Nous avons constaté un bon accord entre les variances issues de (EQ.1) et celles issues de (EQ.5), (EQ.6) et (EQ.7). Plus encore, la comparaison, donnée table 7, des nombres d'événements nécessaires pour évaluer, avec une même précision, la probabilité de panne totale pour trois choix des échelons : notre algorithme, le simple choix équidistant et l'optimum déduit des formules théoriques (qui nécessite au préalable 2h de calcul dans cet exemple simple). Il apparaît que notre algorithme de recherche est quasi-optimal.

Table 7: Estimation ( ) de .

choix
équidistant
optimum
algorithme

5.3 Conclusion

Cette méthode se révèle donc efficace pour évaluer des probabilités évanescentes par une simulation sur ordinateur lorsque les probabilités des états de la chaîne s'étagent du probable au très rare. Elle permet alors une automatisation du découpage en échelons, de leur pondération, et de l'accroissement de la taille générale.

Une difficulté subsiste néanmoins dans la simulation de situations moins simples, à savoir le choix et la mémorisation des variables caractérisant les états intermédiaires, mais cette difficulté est générale aux différentes techniques de réduction de variance.