1 Présentation du problème

Un solide idéal est un objet indéformable, mais il est bien connu qu'un "solide réel" se déforme et finit par rompre sous l'action d'une force de traction suffisante. Il est clair que cette déformation dépend à la fois de la géométrie de l'objet (longueur et section), de la force exercée et des qualités intrinsèques du matériau (constantes techniques). Les essais sont conduits avec des éprouvettes de section constante. La norme ISO6892 [3] recommande l'utilisation d'éprouvettes en forme d'haltères, dont la hauteur utile $L_{0}$ (c'est à dire la hauteur de la partie centrale) soit égale à $5$ fois le diamètre équivalent de la section centrale $S_{0}$ , soit $L_{0}=5\sqrt{\frac{4\, S_{0}}{\pi }}$ . L'allure générale des courbes obtenues est donnée par la FIG. 1 (éprouvettes $DSC122\_Lk$ avec $k=1,\, 2,\, 3$ ).

FIG. : Les données expérimentales, codées en $\left ( \varepsilon ,\, \sigma \right )$ .

$\resizebox*{2.9cm}{6cm}{\includegraphics{figures/eprouvette.eps}}$

$\resizebox*{10.5cm}{6cm}{\includegraphics{figures/deform_contrai.eps}}$

Sur une telle figure, on porte en abscisse la déformation $\varepsilon =\Delta L_{0}/L_{0}$ , définie comme étant le quotient de l'allongement effectif par la longueur initiale. On porte en ordonnée la contrainte $\sigma =F/S_{0}$ , définie comme étant le quotient (exprimé en $MPa$ ) de la force exercée par la section initiale de l'éprouvette.

Le fait que la sémantique des données recueillies consiste en des couples $\left ( \varepsilon ,\, \sigma \right )$ ne devrait pas conduire à inclure quelque calcul que ce soit dans les données enregistrées. Il est au contraire important que les données enregistrées soient une description fidèle de ce qui a été effectivement mesuré (ici $L_{0}$ , $\Delta L_{0}$ , $F$ , $S_{0}$ ).

Une fois les données recueillies, leur examen indique le plus souvent l'existence d'une zone où le phénomène de déformation élastique reste proportionnel (loi de Hooke),l puis on constate une zone de déformation plastique et enfin une zone d'écoulement. Le fait que, dans une partie au moins de la zone élastique, "les points restent alignés" (cf FIG. 2) permet de caractériser la réponse élastique d'une éprouvette par "la pente de la droite" (c'est à dire le module d'élasticité longitudinale en traction ou encore module de Young).

**FIG. :** La partie "rectiligne" des données brutes (allongement, force).
$\resizebox*{13cm}{6cm}{\includegraphics{figures/allon_force.eps}}$

Le problème est que, en réalité, les points expérimentaux ne sont pas alignés, et cela pour deux raisons au moins. En premier lieu, les coordonnées de chaque point sont entachées d'incertitudes liées aux mesures. En second lieu, la pertinence du modèle linéaire est limitée à une certaine zone. Pour des contraintes très faibles, le phénomène n'est pas encore établi et pour des valeurs se rapprochant de la contrainte maximale, les mécanismes qui conduiront à une rupture commencent à se manifester.

La détermination de cette zone de pertinence doit, de toute évidence, faire partie du processus de mesure, tout autant que l'obtention de "la pente de la droite". Nous nous proposons donc d'extraire des données non pas un indicateur (la pente $a$ ) mais trois indicateurs : la pente $a$ et les bornes $\alpha$ et $\beta$ d'un intervalle de validité maximale du modèle considéré. Pour faciliter les comparaisons entre les différents matériaux, cet intervalle est exprimé en pourcentage de la contrainte maximale exercée.

Cet intervalle $\alpha \leq y/y_{max}\leq \beta$ sera obtenu par un compromis entre deux exigences contradictoires. Augmenter la taille de cet intervalle a pour effet de minimiser l'influence des incertitudes de mesures sur la valeur de $a$ , mais cette augmentation de taille amène à prendre en compte des zones dans lesquelles la non linéarité commence à se faire sentir, augmentant les incertitudes dues au modèle.

Nous avons donc choisi de mesurer l'adéquation d'un modèle par le facteur de réduction de variance () relatif à ce modèle, et nous nous proposons de déterminer l'intervalle $\left[ \alpha ,\, \beta \right]$ en maximisant le $FRV$ parmi les modèles pour lesquels $0\leq \alpha \leq \beta \leq 0.75$ . Nous avons choisi de subdiviser l'intervalle $\left[ 0\%,\, 75\%\right]$ en $25$ parties, donnant lieu, après élimination des couples tels que $\beta -\alpha \leq 3\%$ , à $300$ couples $\left( \alpha ,\, \beta \right)$ .

En considérant l'ensemble des valeurs de $a$ correspondant aux modèles les mieux classés pour leur adéquation, par exemple en choisissant les $25\%$ d'entre eux ayant les les plus élevés, nous obtenons une zone d'incertitude autour de $a$ qui, selon notre opinion, a pour sémantique d'indiquer des valeurs qui ne sont pas discernables les unes des autres (en tout cas pas en utilisant l'expérimentation effectivement réalisée). Ce processus fournit un intervalle de confiance encadrant la valeur obtenue par maximisation.

La section 2 met en oeuvre ces concepts et en examine les résultats sur une série d'éprouvettes. Dans la section 3, nous montrons que le produit $n\times FRV$ du facteur de réduction de variance par le nombre de points de mesure appartenant à l'intervalle $\left[ \alpha ,\, \beta \right]$ est un critère de pertinence plus efficace que le seul $FRV$ .

La section 4 examine ce qui peut être dit d'un modèle strictement linéaire. Comme il se doit, le facteur d'adéquation du meilleur modèle affine est supérieur au facteur d'adéquation du meilleur modèle linéaire (puisque l'on dispose d'un degré de liberté supplémentaire). Mais le modèle linéaire est intéressant à examiner, car il est peut-être plus proche de l'utilisation qui sera faite de la valeur obtenue pour le module.

La discussion des résultats obtenus est l'objet des trois autres sections de cet article. Dans la section 5 nous examinons l'influence du choix de la variable explicative. En effet "le meilleur modèle" n'est pas le même si l'on veut prévoir la contrainte $\sigma$ en fonction de la déformation $\varepsilon$ , ou si l'on veut prévoir $\varepsilon$ en fonction de $\sigma$ . Dans la section 6, nous examinons un modèle linéaire décalé, passant par la précharge. Dans la section 7, nous présentons une tentative que nous avons faite portant sur un modèle quadratique de la zone élastique linéaire. Notre objectif était de prendre en compte la variation de section de l'éprouvette lors de l'essai.

Et enfin, dans la section 8, nous comparons notre méthode au processus recommandé dans le CoP7 [1] et nous montrons que la valeur centrale est identique pour les deux méthodes. Par contre, il nous semble que l'incertitude sur le module est plus importante que celle donnée par la procédure CoP7.