2 Ajustement affine

Dans cette section nous allons procéder à un ajustement affine des données obtenues en sélectionnant les points qui vérifient $\alpha \leq y/y_{max}\leq \beta$ . Rappelons que nous avons choisi de subdiviser l'intervalle $\left[ 0\%,\, 75\%\right]$ en $25$ parties, donnant lieu, après élimination des couples tels que $\beta -\alpha \leq 3\%$ , à $300$ couples $\left( \alpha ,\, \beta \right)$ . Nous avons donc procédé à $300$ répétitions de l'algorithme des moindres carrés.

Dans tout problème de régression, le calcul de référence consiste à approximer la variable $y$ par une constante $b$ . L'erreur quadratique moyenne pour ce modèle est donnée par $\delta ^{2}=\frac{1}{N}\sum \left( y-b\right) ^{2}$ . Il est bien connu que le choix optimal de la constante $b$ est la moyenne arithmétique $\overline{y}$ des $y$ , qui est donc caractérisée par le fait que $\left( \frac{\mathrm{d}^{ }}{\mathrm{d}\, b ^{ }}\delta ^{2}\right) =0$ . La valeur correspondante de $\delta ^{2}$ , notée usuellement $\sigma _{y}^{2}$ , est la variance des $y$ et constitue le point de comparaison naturel pour toute autre approximation des $y$ .

Procédant à une approximation affine, nous sommes amené à minimiser $\delta ^{2}\doteq \frac{1}{N}\sum \left( y-a\, x-b\right) ^{2}$ en choisissant efficacement $a,\, b$ , et cela pour différents choix de l'intervalle de pertinence $x\in \left[ \alpha \, \, \beta \right]$ . Un calcul élémentaire conduit à :

$\begin{displaymath} \delta ^{2}\doteq \mathrm{E}\left( \left( y_{j}-A\, x_{j}-B\... ...-B\right) ^{2}+var_{x}\left( A-a\right) ^{2}+\delta ^{2}_{min} \end{displaymath}$

(1)

FIG. 3: L'approximation affine : et valeur de la pente $a$ .

$\resizebox*{15cm}{5.5cm}{\includegraphics{figures/alfbet_frv.eps}}$

$\resizebox*{15cm}{5.5cm}{\includegraphics{figures/alfbet_aaa.eps}}$

La FIG. 3 donne les courbes de niveau correspondantes pour le (en haut) et la pente $a$ (en dessous). Ces courbes concernent les éprouvettes $DSC122\_L1$ (à gauche), $DSC122\_L2$ (au centre) et $DSC122\_L3$ (à droite). On constate que le présente un maximum plus ou moins prononcé selon les éprouvettes. Il se situe aux environs (respectivement) de $\alpha ,\, \beta =9\%,\, 72\%$ , de $\alpha ,\, \beta =9\%,\, 75\%$ et de $\alpha ,\, \beta =6\%,\, 69\%$ . Les valeurs correspondantes du sont $17265$ , $12936$ et $13932$ .

Dans la deuxième partie du graphe, on constate que $a$ varie peu pour des intervalles de même centre, et varie plus lorsque l'on translate un intervalle $\left[ \alpha ,\, \beta \right]$ de longueur constante.

2.2 Bilan de l'ajustement affine

En ce qui concerne la première éprouvette, les $300$ estimations obtenues pour $a$ se situent dans l'intervalle $a\in \left[ 63051,\, 72454\right] \, MPa$ , conduisant à une amplitude apparente de $14\%$ . Mais, bien entendu, cette amplitude doit être décomposée en une incertitude issue du modèle (causée par un choix non pertinent de l'intervalle $\left[ \alpha ,\, \beta \right]$ ) et une incertitude issue des instruments de mesure (causée par les répercussions des incertitudes portant sur les mesures primaires). A cet effet, nous allons extraire les $75$ meilleurs parmi ces $300$ couples (c'est à dire que nous en retenons un sur quatre). On constate que le $75$ ème $FRV$ par ordre décroissant est $9150$ , et que les $75$ valeurs de $a$ associées à un $FRV$ supérieur à $9150$ sont contenus dans l'intervalle $\left[ 65200,\, 66100\right] \, MPa$ , soit une amplitude relative de l'ordre de $1.4\%$ , valeur tout à fait acceptable.

Une visualisation de ces résultats est donnée par la FIG. 4. La partie gauche représente les couples $\left( a,\, FRV\right)$ obtenus pour la première éprouvette. Les verticales correspondant aux limites de l'intervalle des $25\%$ meilleures valeurs pour $a$ tandis que l'horizontale correspondent au $75$ ème meilleur . La partie droite de la figure rassemble les points obtenus pour les trois éprouvettes de la série.

FIG. 4: Sur $300$ valeurs obtenues, on ne conserve que les 25% les plus pertinentes.

$\resizebox*{7cm}{!}{\includegraphics{figures/aaa_frv_seul.eps}}$

$\resizebox*{7cm}{!}{\includegraphics{figures/aaa_frv.eps}}$

Les valeurs correspondantes pour les trois éprouvettes sont regroupées TAB. 1.

Table 1: Bilan de l'ajustement affine.

	FRV				E : encadrements ( $MPa$ )				$\Delta \, \left( \%\right)$
#	pire	75ème	5ème	1er	tous les $a$		les 25% meilleurs
1	$54$	$9150$	$16652$	$17265$	$63051$	$72454$	$65164$	$66116$	$1.4$
2	$12$	$12233$	$15020$	$18060$	$61058$	$71922$	$64712$	$70181$	$8.1$
3	$63$	$10806$	$14273$	$16954$	$56131$	$73087$	$63267$	$65817$	$3.9$

2.3 Vérification de l'ajustement affine

Pour l'éprouvette $DSC122\_L1$ , la meilleure approximation affine, au sens de la maximisation du $FRV$ , est :

**FIG. :** Écart des points expérimentaux à la droite de régression affine.
$\resizebox*{8cm}{!}{\includegraphics{figures/residuel.eps}}$

Un contrôle visuel de ce résultat et de son $FRV$ est fourni par la FIG. 5, qui trace $y-y_{prev}$ en fonction de $x$ . On constate que les points $\left( \Delta L_{0},\, F\right)$ correspondant à la première éprouvette viennent se répartir dans une bande horizontale dont la hauteur mesure environ $100\, N$ . Pour cette éprouvette, on a $\Delta \, F\approx 13000\, N$ . Comme $FRV\approx 16900$ , on a $FR\sigma \approx 130$ et donc $\Delta \, F_{res}\approx 100\, N$ .

2 Ajustement affine

2.1 Les calculs

2.2 Bilan de l'ajustement affine

2.3 Vérification de l'ajustement affine