4 Ajustement linéaire

Il est important de remarquer que le modèle affine, qui est utilisé par tous les laboratoires de mesure pour déterminer le module élastique, n'est pas un modèle facile à gérer par un utilisateur final. En effet, ce modèle consiste à faire passer une droite de pente donnée par un point fictif, qui est le centre de gravité des points de mesure $\left( x_{i},\, y_{i}\right)$ .

Au contraire, le raisonnement suivi pour dimensionner une pièce part plus vraisemblablement de l'état de repos, et consiste donc à modéliser par une droite contenant l'origine. Mais il importe alors de savoir que ce modèle linéaire est bien moins bon que le modèle affine examiné précédemment, et que de plus le meilleur modèle linéaire n'est pas obtenu en translatant le meilleur modèle affine.

En effet, le modèle linéaire consiste à déterminer la pente $a$ qui minimise $\delta ^{2}\doteq \frac{1}{N}\sum \left( y-a\, x\right) ^{2}$ . La qualité de cette nouvelle approximation se mesure par le facteur de réduction de variance associé, noté dans ce qui suit. On a donc $FRV_{lin}=var_{y}\div \delta ^{2}_{min}$ . Plus encore que pour le modèle affine, il n'est pas question d'accepter la totalité des $300$ valeurs obtenues. En effet, l'amplitude obtenue est de l'ordre de $65\%$ ...

En ne retenant que les $25\%$ meilleures valeurs, on obtient une amplitude de l'ordre de $2.8\%$ , qui est bien plus acceptable. La figure FIG. 8 indique l'étendue des valeurs pertinentes de $a$ pour ce modèle, tandis que la TAB. 3 liste les valeurs remarquables pour ce modèle.

FIG. : Les 25% valeurs les plus pertinentes (modèle linéaire).

$\resizebox*{7cm}{!}{\includegraphics{figures/a_lin_frv.eps}}$

Table: Bilan de l'ajustement linéaire (critère $n\times FRV$ ).

	normalisé				E : encadrements ( $MPa$ )				$\Delta \, \left( \%\right)$
#	pire	75ème	5ème	1er	tous les $a$		les 25% meilleurs
1	$.10$	$143$	$311$	$364$	$67281$	$119630$	$68074$	$69840$	$2.5$
2	$.05$	$126$	$298$	$355$	$67288$	$132120$	$67743$	$70136$	$3.4$
3	$.05$	$109$	$240$	$272$	$66950$	$130240$	$67956$	$69910$	$2.8$

On constate que le meilleur modèle linéaire est nettement moins bon que le modèle affine : un $FRV_{lin}$ de $400$ conduit à une diminution d'un facteur $20$ de l'étendue de la variable résiduelle alors que le modèle affine conduisait à une diminution par un facteur $130$ . Par ailleurs, on remarque que les amplitudes correspondant aux deux modèles n'ont pas de valeurs en commun.

4 Ajustement linéaire

4.1 Un modèle plus proche de l'utilisateur