8 Comparaison avec le Code of Practice #7

8.1 Accord complet sur l'estimateur choisi

Le CoP7 recommande de choisir l'intervalle qui minimise la quantité , la quantité étant la pente de la droite de régression affine en et étant défini par

$$\Delta a\doteq \sqrt{\frac{\left( 1-r^{2}\right) var_{y}}{\left( n-2\right) var_{x}}}$$ (4)

Cette recommandation équivaut à maximiser

$$\left( \frac{a}{\Delta a}\right) ^{2}=\left( n-2\right) FRV\... ...{2}}{var_{x}\, var_{y}}=\left( n-2\right) \left( FRV-1\right)$$ (5)

Vu les valeurs de et du au voisinage de l'extremum, les deux procédures sont équivalentes quant au choix de et fournissent dont la même estimation du module de Young.

8.2 Une remarque sur la précision des calculs

La formule de Huyghens-Koenig

$$var_{y}\doteq \mathrm{E}\left( \left( y_{j}-\overline{y}\rig... ...rm{E}\left( y_{j}^{2} \right) -\left( \overline{y}\right) ^{2}$$ (6)

est fausse en précision limitée. Or le nombre de décimales utilisées par les tableurs n'est pas très élevé. En outre, les données acquises sont le plus souvent des nombres entiers : il est donc préférable d'éviter le recours à l'arithmétique flottante. Et cela d'autant plus que les calculs relatif au module sont plus rapides en précision infinie sur des entiers (ou des rationnels) qu'en précision limitée sur des nombres en virgule flottante.

8.3 L'algorithme de recherche de l'extremum

La recherche d'un extremum absolu d'une fonction de deux variables est un problème difficile, à cause de la présence d'extrema locaux. L'algorithme consistant à fixer et optimiser la valeur de , puis à fixer à cette valeur puis optimiser la valeur de est assez souvent insuffisant. Il faudrait à tout le moins continuer à déplacer alternativement et jusqu'à obtenir un extremum local. Mais il reste néanmoins des cas où l'on se trouve bloqué, manquant d'atteindre l'extremum global. Ainsi, dans le premier tableau, on arrive en deux mouvements à , et il reste un mouvement à faire pour arriver à . Dans le deuxième cas, reste inaccessible.

$$\left( \begin{array}{cccccc} 6 & . & . & . & . & .\\ 10 & .... ... & 13 & . & 20 & .\\ 0 & . & . & . & . & . \end{array}\right)$$

8.4 Incertitude sur

Le fait que l'incertitude sur soit donnée par est lié à la formule

$$y_{i}=a\, x_{i}+b+t\times s\, \sqrt{\frac{n+1}{n}+\frac{1}{n}\frac{\left( x-\overline{x}\right) ^{2}}{var_{x}}}$$ (7)

dans laquelle est l'estimateur de l'écart-type de la variable résiduelle , et une variable de Student-Fischer.

FIG. : Régression affine fondée sur un échantillon : données et modèle obtenu.

Or cette formule suppose à tout le moins l'indépendance des variables résiduelles . La plupart des auteurs obtiennent cette formule en supposant que les variables résiduelles sont des variables normales indépendantes et identiquement distribuées. Nous avons testé la distribution des variables en les regroupant en dix classes et en utilisant le test du pour comparer à la loi normale. On obtient . Comme , il vient et il n'y a donc pas de rejet de l'hypothèse.

FIG. : Histogramme et graphe de la variable résiduelle.

Par contre l'autocorrélation, c'est à dire vaut environ . Ce résultat nous semble rendre compte du fait que la variabilité constatée de soit plutôt de l'ordre de que de l'ordre de .